8.4.2. Метод c. Патанкара и д. Сполдинга

Применение интегро-интерполяционного подхода для решения

стационарного уравнения диффузии

Рассмотрим построение конечно-разностной схемы интегро-интерполяционным методом на примере диффузионного уравнения, записанного для стационарного одномерного случая

. (8.118)

Будем использовать обозначения, принятые в соответствии с рисунком (8.17). Номера контрольных объемов обозначаются , а их границы индексами .

Однократное интегрирование уравнения (8.118) по x позволяет получить соотношение

.

Если принять профиль функции f в выделенных объемах линейным, то последнее уравнение в конечно-разностном виде можно переписать следующим образом

,

,

или

, (8.119)

где .

Здесь - осредненное по объемам ( ) значение функции .

Для уравнения (8.119) можно сформулировать правила, которые следуют из физических посылок (решаемое уравнение – это уравнение теплопроводности или уравнение диффузии), в том числе из условий консервативности дискретного аналога решаемого уравнения:

• правило 1 - соответствие потоков на границах контрольного объема.

Смысл записанного правила состоит в следующем. В связи с тем, что задача (8.118) стационарная, значения потоков на правой границе контрольного объема с номером (I-1) должен совпадать со значением потока на левой границе контрольного объема с номером I. В уравнении (8.118) поток – это величина . Если выбирается неудачная аппроксимация величины потока, то сформулированное правило не будет выполняться. В связи с этим будет накапливаться ошибка, которая может привести к неустойчивости вычислительного процесса;

- правило 2 - cоответствие знаков коэффициентов в конечно-разностной формуле (8.119) при разыскиваемых значениях дискретной неизвестной .

Предположим, что значение функции в точках увеличилось на какую-либо величину. Из физических соображений следует, что значение функции в точке тоже должно увеличиться. Такой же эффект должен быть и в случае, если происходит уменьшение значений функций (должно уменьшиться значение ). Это может произойти лишь в том случае, если знаки при коэффициентах будут совпадать. В частности, можно требовать положительности знаков при этих коэффициентах (в дальнейшем будем считать коэффициенты положительными);

- правило 3 - отрицательность коэффициента k при вычислении значения источникового члена .

Прежде всего, требования, устанавливаемые правилом 3, исходят из необходимости обеспечить положительное значение коэффициента . Неудачная аппроксимация источникового члена может нарушить это условие. Кроме того, положительное значение не физично по существу. Действительно, если возникает какой-либо возмущающий фактор, приводящий к росту значения функции , то при положительности коэффициента это возмущение будет усилено. Из физических соображений для устойчивой системы все должно быть наоборот;

- правило 4 - при отсутствии источникового члена должно выполняться условие по сумме коэффициентов . Сформулированное правило может быть аргументировано следующими соображениями.

Пусть конечно-разностная аппроксимация

,

,

справедлива для уравнения (уравнение (8.118), в котором источниковый член равен нулю). Такая аппроксимация должна оставаться справедливой и в том случае, если разыскивается решение уравнения . Легко убедиться, что записанное условие будет выполнено, если при конечно-разностной аппроксимации обеспечить выполнение условия . Одна из проверок выполнения правила 4 – это проверка ненакопления ошибок вычисления, если значение функции .

Применение интегро-интерполяционного подхода для решения

нестационарного уравнения теплопроводности

Рассмотрим теперь применение метода контрольного объема для записи нестационарного уравнения теплопроводности, отличающееся от (8.118) наличием производной от температуры по времени процесса

.

Дискретный аналог для этого уравнения получается интегрированием обеих частей уравнения по времени (от времени t до момента времени ) и по продольной координате (в пределах выделенных контрольных объемов с номерами (I-1) и I

.

При аппроксимации интеграла по времени для произвольной функции f воспользуемся соотношением

.

Здесь - весовой коэффициент, принимающий значения в интервале от 0 до 1 ( ).

В применении к уравнению теплопроводности записанная аппроксимация интеграла по времени приводит к конечно-разностному уравнению

.

После преобразований уравнение можно привести к виду (8.119)

, (8.120)

.

Принимая в последнем уравнении значение , получаем явную конечно-разностную схему для определения значений температуры . При имеем неявную конечно-разностную схему. Схема Кранка - Николсона получается в случае, когда предполагается, что . Таким образом, интегро-интерполяционным методом в рассмотренном случае получены те же формулы, что и при использовании обычных конечно-разностных схем (см. раздел 8.3.1).

Применение интегро-интерполяционного подхода для решения

стационарного уравнения с конвективной и диффузионной составляющими

Рассмотрим стационарную задачу, имеющее отношение к газовой динамике

. (8.121)

Здесь - соответственно, плотность газа, его скорость, переносимая субстанция, коэффициент теплопроводности.

Если принять, что в этом уравнении (первое условие выполняется тождественно, если рассматривается течение жидкости или газа - ), то это уравнение можно решить в аналитическом виде. Пусть решение уравнения разыскивается на интервале и известны граничные значения для функции f - . В этом случае первый интеграл уравнения (8.121) и решение для функции f записываются следующим образом

, (8.122)

, (8.123)

Из уравнения (8.123) устанавливается значение производной

. (8.124)

С учетом (8.123), (8.124) решение (8.122) переписывается в виде

. (8.125)

В теории подобия величина - критериальное соотношение и называется числом Пекле. Число Пекле устанавливает отношение интенсивностей конвекции и диффузии. В частности, значение числа соответствует решению задачи чистой диффузии, а значение решению задачи чистой конвекции. Графически решение уравнения (8.125) для произвольного значения представлено на рисунке 8.18. Поведение решения f(x) при больших значениях числа Пекле ( ) показывает, что конечно-разностная аппроксимация уравнения (8.121) с использованием центральных разностей для конвективного члена будет неудовлетворительной. Этот результат был получен выше при анализе устойчивости схемы с центральными разностями для уравнения (8.10).

Применение полученного аналитического решения (8.125) для контрольных объемов ( , рисунок 8.17) позволяет записать следующее конечно-разностное уравнение

.

Это уравнение можно переписать в виде (8.119)

,

.

При выполнении больших расчетов на вычислительных машинах определение коэффициентов осуществляется многократно (тысячи и миллионы раз). Наличие в уравнениях для этих коэффициентов экспонент существенно увеличивает время вычисления этих коэффициентов. Поэтому в [Патанкар] предлагаются следующие упрощения:

- первый вариант

, если ;

, если ;

, если ;

• второй вариант

, если ;

, если ;

, если ;

, если .

Применение интегро-интерполяционного подхода для решения системы

стационарных уравнений газовой динамики (SIMPLE - метод)

Рассмотрим решение уравнений газовой динамики с использованием метода С. Патанкара и Д. Сполдинга. Для упрощения уравнения запишем в одномерной стационарной постановке:

,

, (8.126)

.

В конечно-разностном виде второе уравнение системы (8.126) может быть записано в форме

,

.

Примем, что справедливы соотношения

, где

, где

Тогда после подстановки в верхнее уравнение получим уравнение для поправок:

Если значения близки к их истинным значениям, то справедливо

Тогда . Здесь

Или

Перепишем уравнение неразрывности в нестационарном виде

Применение метода контрольных объемов для этого уравнения позволяет получить конечно-разностную зависимость

Здесь , , ,

Решению стационарных уравнений газовой динамики соответствует условие .

Алгоритм решения уравнений газовой динамики по алгоритму SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equation) следующий:

1. Задается поле давления ;

2. Вычисляются значения скоростей ;

3. Вычисляются поправки для давлений ;

4. Расчет новых значений давления и скоростей с учетом вычисленных поправок , . Здесь - коэффициент релаксации.

5. Проверка значения функции . Если его значение значительно отличается от нуля, то принимается, что , и вычислительная процедура повторяется.

Применение алгоритма SIMPLE особенно эффективно при расчете дозвуковых скоростей газа (поправка для давления близка к линейной) и при расчете несжимаемых (слабосжимаемых) жидкостей.

Необходимо отметить, что наряду с алгоритмом SIMPLE в практических приложениях применяются и другие эффективные вычислительные алгоритмы – его модификации. В частности, алгоритмы SIMPLEC, SIMPLER.