Задание №1

1.1. Условие задачи

Дано нелинейное уравнение вида f(x)=0. Решить заданное нелинейное уравнение с помощью программ Excel и Mathcad.

1.2. Решение в Mathcad

1. С помощью программы Mathcad построим график функции на интервале [-5;15] (Рис.1. 1). По графику определяем приближенные значения корней уравнения 0.8, 1.4 и 7.

Рис.1. 1. График функции f(x), построенный в Mathcad

2. С помощью функции root находим точные значения корней уравнения x₁=0.7181; x₂=1.29645; x₃=6.98605.

3. Используя символьные вычисления Mathcad, найдем производную

4. Построим график производной функции f(x). По графику определяем приближенное значение корней fs(x)=0: x=5; x=0.9. С помощью функции root находим точное значение первого корня уравнения fs(x)=0. Второй корень находим с помощью функции «maximize», так как при х=1 производная функции не существует. Получили следующие значения экстремумов: x_min = 5; x_max = 1 (Рис.1. 2).

Рис.1. 2. Нахождение корней уравнения и экстремумы функции при помощи Mathcad

1.3. Решение в Excel

5. Выполним табулирование функции в Excel на интервале [-5;15] с шагом 0,2.

6. На основе полученной таблицы табуляции строим график функции f(x) (Рис.1. 3).

Рис.1. 3. Табуляция функции и построение графика в Excel

7. На полученном графике определяем приближенные значения корней уравнения. Данные корни будут находиться в точках пересечения графика функции с осью абсцисс, а также их приближенные значения можно определить по таблице табуляции в строках, где значения в столбце y меняют свой знак. Получаем следующие приближенные значения корней уравнения: 0,8; 1,4 и 7. С помощью процедуры «Подбор параметра» определяем точное значение корня для каждого приближенного значения. Получаем следующие значение корней уравнения: x₁=0,71805; x₂=1,29636; x₃=6,98604 (Рис.1. 4).

Рис.1. 4. Фрагмент листа Excel с найденными корнями уравнения

8. Найдем в Excel экстремумы функции f(x). По графику видно, что данная функция имеет две точки экстремума (максимум и минимум) в районе x=1 и x=5. Скопируем данные из таблицы табуляции для поиска максимума и минимума. Для нахождения этих экстремумов, воспользуемся надстройкой «Поиск решения» и настроим ее согласно Рис.1. 5. Отсюда видно, что x_min=5; x_max=1.

Рис.1. 5. Настройка «Поиска решения» для задачи нахождения экстремумов

Задание №2

2.1. Условие задачи

Даны матрицы A, B и С.

, , .

Вычислить матрицу D по формуле согласно варианту (прил.2). Задание выполнить в Excel и Mathcad.

2.2. Решение в Mathcad

1. Расчет матрицы D средствами Mathcad показан на Рис.2. 1

Рис.2. 1. Вычисление матрицы D в Mathcad

2.3. Решение в Excel

2. Вычислим значение матрицы D по формуле: D=A*B+5*C^T c помощью Excel. (Рис.2. 2)

Рис.2. 2. Вычисление матрицы D в Excel

Задание №3

3.1. Условие задачи

Используя коэффициенты полученной матрицы D, решить систему следующих нелинейных уравнений:

3.2. Решение в Mathcad

1. Решение системы уравнений в Mathcad приведено на Рис.3. 1

Рис.3. 1. Решение системы уравнений с помощью Mathcad

3.3. Решение в Excel

2. Решим следующую систему линейных уравнений, используя коэффициенты из полученной матрицы D в Excel с применением последовательности операций линейной алгебры, а именно – с применением обратной матрицы (Рис.3. 2). В результате получили вектор решения:

Рис.3. 2. Решение системы нелинейных уравнений с помощью Excel

Задание №4

4.1. Условие задачи

• С помощью программы Mathcad провести кусочно-линейную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1.3, 2.6, 4.4, 5.9, 7.1, 8.75. Построить график.

• С помощью программы Mathcad провести полиномиальную интерполяцию и найти значения y для следующих значений x: 1.3, 2.6, 4.4, 5.9, 7.1, 8.75. Построить график. Записать уравнение полинома (коэффициенты полинома указать с точностью 10 знаков после запятой)

• Провести 2 вида аппроксимации: (полином 5-й степени и линейная функция). Построить оба графика на одной координатной плоскости. В обоих случаях определить сумму квадратов отклонений для узловых точек. Данное задание выполнить как в Excel, так и в Mathcad.

Выполним это задание для следующих точек:

x	0.01	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	-7.36	-3.87	24.94	5.94	42.2	35.7	-0.91	24.72	-24.42	29.2