2.4.3 Плотность эволюции для ldpc кодов

В 2001 году Ричардсон и Урбанк расширили основную идею анализа LDPC кода, используемую для алгоритма А и В, а также BEC-декодирования других алгоритмов декодирования [13]. Учитывая общий случай, когда алфавит сообщения есть множество действительных чисел, они предложили методику, которая называется плотностью эволюции, которая отслеживает эволюцию pdf сообщения, итерация за итерацией.

Для того, чтобы определить плотность сообщений, они нуждались в особенности канала и декодирования, называются условиями симметрии. Условия симметрии требуют канал и декодирующие методы корректировки, которые удовлетворят некоторым свойствам симметрии следующим образом.

Канал симметрии: канал называется каналом с симметричным выходом, если

где есть условное pdf Y исходного X.

Проверочный узел симметрии: метод корректировки проверочного узла симметричен, если

для любой последовательности Здесь, CHK() является методом проверочной корректировки, который берет сообщений для генерации одного выходного сообщения.

Переменный узел симметрии: метод корректировки переменного узла симметричен, если

Здесь, VAR () является методом корректировки переменного узла, который берет сообщений вместе с каналом сообщения для генерации одного выходного сообщения.

Условия симметрии возникают потому, что, в соответствии с условиями симметрии, сходимость поведен декодера не зависит от передаваемых кодовых слов, в предположении линейного кода. Таким образом, можно предположить, что кодовое слово из одних нулей передается. При этом предположении, транспортировка сообщения для ‘0’ является верным сообщением и транспортировка сообщения для ‘1’является ошибочным сообщением, для сообщений величина ошибки может быть определена.

Аналитические разработки этого метода можно найти в [13], но во многих случаях она слишком сложна, чтобы быть полезным для непосредственного использования. На практике используется дискретная эволюция плотности [28]. Идея состоит в том, чтобы квантовать алфавит сообщения и использовать pmfs вместо pdfs, чтобы сделать компьютерную реализацию возможной. Качественное описание эволюции плотности и разработка дискретной эволюции плотности для алгоритма sum-product приведено в приложении Б.

Плотность эволюция не является специфическим для LDPC кодов. Это техника, которая может быть принята для других кодов, определенных на графах, связанных с итеративным декодированием. Тем не менее, она становится неразрешимой, когда учредительные коды являются сложными, например, в турбо-кодах. Даже в случае LDPC кодов с простейшим образующим кодом (простая проверка четности), этот алгоритм довольно интенсивных вычислений.

2.4.4 Порог декодирования ldpc кода

Из разработки дискретной плотности эволюции становится ясно, что для конкретных переменных и распределения проверочной степени плотность сообщений после итераций является функцией только состояния канала. В [13], Ричардсон и Урбанк доказали, что это худший случай состояния канала, для которого величина ошибки в сообщении стремится к нулю, а число итераций стремится к бесконечности. Это состояние канала называется порогом кода. Например, порог равномерного (3, 6) кода на канале AWGN по декодированию sum-product 1,1015 дБ. Это означает, что если бесконечно долгий (3, 6) код был использован на канале AWGN, стремление к нулю количества ошибок обеспечивается при более чем на 1,1015 дБ. Если состояние канала хуже, чем порог, ненулевая величина ошибок гарантирована. На практике, когда используются коды конечной длины, существует разрыв от производительности к порогу, который растет по мере того, как длина кода уменьшается.

Если порог кода равен пределу Шеннона, то код достигает своей пропускной способности.