7.Взаимное расположение точки и прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции должны принадлежать одноименным проекциям этой прямой (аксиома принадлежности точки прямой). Из четырех предложенных на рисунке 3.14 точек, только одна точка С лежит на прямой АВ.

  В тех случаях когда точка и прямая лежат в плоскости уровня (параллельной какой-либо из плоскостей проекций П₁, П₂ и П₃), то вопрос о взаимном расположении прямой и точки решается при построении проекций на плоскость соответственно П₁, П₂ или П₃. Например, прямая АВ и точка К лежат в плоскости параллельной профильной плоскости  проекций (рис.3.15).

8.ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПРЯМЫХ Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Если две прямые в пространстве параллельны между собой, то их проекции на плоскости также параллельны между собой (рисунок 20). Обратное утверждение не всегда верно (сравни прямые С₀D₀ и CD на этом же рисунке).

Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых (рисунок 21).

Скрещивающиеся прямые не пересекаются и не параллельны между собой (рисунок 22).

Как видно из данного рисунка, точка с проекциями К₂ и К₁ принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями L₂ и L₁ принадлежит прямой СD. Эти точки одинаково удалены от плоскости π₂, но расстояния их от плоскости π₁ различны: точка L расположена выше, чем точка К.

9. ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИИ ПРЯМОГО УГЛА

Решение многих метрических задач требует применения перпендикулярных прямых и плоскостей и основывается на свойства прямоугольного проецирования прямого угла.  Прямой угол проецируется без искажения если обе стороны параллельны плоскости проекций. Если стороны угла не параллельны плоскости проекции, то угол проецируется с искажением на а эту плоскость проекцииЕсли хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.  Свойства проекций прямого угла имеют важное значение при решении метрических задач на чертеже, таких, как построение взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей определения расстояния между геометрическими фигурами и т.д. Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Следствие: если прямоугольная проекция угла, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, - прямой угол, то проецируемый угол также прямой.

10.СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ПЛОСКОСТИ НА ЧЕРТЕЖЕ Плоскость на чертеже может быть задана:

а) проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой (рисунок 23 а);

б) проекциями прямой и точки, взятой вне прямой (рисунок 23 б);

в) проекциями двух пресекающихся прямых (рисунок 23 в);

г) проекциями двух параллельных прямых (рисунок 23 г);

д) проекциями любой плоской фигуры – треугольником, многоугольником, кругом и т.д. (рисунок 23 д);

е) более наглядно плоскость может быть изображена при помощи следов – линий пересечения ее с плоскостями проекций (рисунок 23 е).

Если плоскость параллельна плоскости π₁, то такая плоскость называется горизонтальной. На рисунке 24 плоскость γ (АВС) расположена параллельно плоскости π_1. Как видно на рисунке, фронтальная проекция этой фигуры представляет собой прямую линию, параллельную оси Х и совпадающую с фронтальным следом ƒ₀γ плоскости, а горизонтальная проекция γ₁ (А₁В₁С₁) равна самой фигуре.

11) Плоскость а, наклонная ко всем плоскостям проекций, называется плоскостью общего положения

К плоскостям частного положения относятся плоскости, перпендикулярные и параллельные плоскостям проекций. С перпендикулярными (проецирующими) плоскостями мы познакомились в теме Две проекции отрезка прямой. С помощью таких плоскостей мы проецировали отрезки прямых линий на плоскости проекций. У горизонтально-проецирующей плоскости a(kхl)_|_ П1 фронтальный след k всегда перпендикулярен оси проекций х12 (рис. 94,а). Горизонтальный след l, как правило, наклонен к оси проекций х12 и составляет с ней некоторый угол а.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ.

Если плоскость проходит через прямую перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

12)

Положение плоскости в пространстве определяется (рис.3.1): тремя точками, не лежащими на одной прямой (1), прямой и точкой, взятой вне прямой (2), двумя пересекающимися прямыми (3) , двумя параллельными прямыми (4), геометрической фигурой (5), следами плоскости (6).

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на эту плоскость.

Алгоритм построения:

Строится перпендикуляр из точки K на плоскость s (АВС) : m1 h1, m2 f2.

Находится точка N - точка пересечения перпендикуляра m с плоскостью s (АВС).

Определяется расстояние от точки K до точки N с помощью прямоугольного треугольника K1N1M0. Длина гипотенузы N1M0 – это искомое расстояние: |KN| = N1M0.

13)

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

14) Метод замены плоскостей проекций

Изменение взаимного положения изучаемого объекта и плоскостей проекций достигается путем замены одной из плоскостей П1 или П2 новой плоскостями П4 (рис. 148). Новая плоскость всегда выбирается перпендикулярно оставшейся плоскости проекций.

Определить натуральную величину отрезка АВ прямой общего положений (рис. 148). Из свойства параллельного проецирования известно, что отрезок проецируется на плоскость в натуральную величину, если он параллелен этой плоскости.

Выберем новую плоскость проекций П4, параллельно отрезку АВ и перпендикулярно плоскости П1. Введением новой плоскости, переходим из системы плоскостей П1П2 в систему П1П4 , причем в новой системе плоскостей проекция отрезка А4 В4 будет натуральной величиной отрезка АВ.

15) Способ вращения

Сущность этого способа заключается в том, что система плоскостей проекций V/H остается неподвижной, а положение геометрических элементов меняется путем вращения вокруг одной или двух выбранных осей до нужного положения в данной системе. Этим способом решаются задачи на определение: натуральной величины отрезков и углов их наклона к плоскостям проекций V, H или W; для проведения прямой и плоскости под заданными углами; для совмещения оригиналов.

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения АВ (рис. 4.4), выберем ось вращения перпендикулярную горизонтальной плоскости проекций и проходящую через В1. Повернем отрезок так, чтобы он стал параллелен фронтальной плоскости проекций (горизонтальная проекция отрезка параллельна оси x). При этом точка А1 переместиться в А*1, а точка В не изменит своего положения. Положение точки А*2 находится на пересечении фронтальной проекции траектории перемещения точки А (прямая линия параллельная оси x) и линии связи проведенной из А*1. Полученная проекция В2 А*2 определяет действительные размеры самого отрезка.

16) В инженерной графике поверхность рассматривают как множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по определенному закону. В процессе образования поверхности линия 1 может оставаться неизменной или менять свою форму.

Другим способом образования поверхности и ее изображения на чертеже является задание поверхности множеством принадлежащих ей точек или линий. При этом точки и линии выбирают так, чтобы они давали возможность с достаточной степенью точности определять форму поверхности и решать на ней различные задачи.

Поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой. Например, конус вращения - линейчатая поверхность, а сфера - нелинейчатая. Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Линейчатые поверхности разделяются на два вида: 1) развертывающиеся поверхности;

2) неразвертывающиеся, или косые поверхности.

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению (рис. 2.3.21). Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая.

Коническая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку (рис. 2.3.24).

круговые - нормальное сечение круг

круговые - нормальное сечение круг

17) К гранным относятся поверхности, образованные перемещением прямолинейной образующей l по ломаной направляющей m. При этом если одна точка S образующей неподвижна, создается пирамидальная поверхность (рис. 97), если образующая при перемещении параллельна заданному направлению S, то создается призматическая поверхность (рис. 98).

Пирамида — многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а боковые грани — треугольники с общей вершиной S.

На комплексном чертеже пирамида задается проекциями ее вершин и ребер с учетом их видимости. Видимость ребра определяется с помощью конкурирующих точек (рис. 100).

Призма — многогранник, у которого основание — два одинаковых и взаимно параллельных многоугольника, а боковые грани — параллелограммы. Если ребра призмы перпендикулярны плоскости основания, такую призму называют прямой. Если у призмы ребра перпендикулярны какой-либо плоскости проекций, то боковую поверхность ее называют проецирующей. На рис. 101 дан комплексный чертеж прямой четырехугольной призмы с горизонтально проецирующей поверхностью.

многогранник — поверхность составленная из многоугольников, а также тело ограниченное такой поверхностью.

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

18.Поверхность вращения - поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой произвольной линии.

Тор- поверхность вращения, получаемая вращением образующей окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности.

Сфера - замкнутая поверхность, тело вращения, образованное при вращении полуокружности вокруг своего диаметра.

Элипсоид вращения - тело вращения, образованная при вращении эллипса вокруг одного из его главных осей.

Цилиндр - геометрическое тело, ограниченное поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими его.

Конус - тело, полученное объединением всех лучей, исходящих из одной точки и проходящих через плоскую поверхность.

19.Аксонометрическиепроекции.Прямоугольная изометрия.

Название "аксонометрия" образовано из слов древнегреческого языка: "аксон" - ось, "метро" - измеряю.

Аксонометрическая проекция есть, прежде всего, проекция только на одной плоскости.

Если взять точку А в прямоугольной системе координат с координатами ОХ=OY=OZ=ℓ (рис.7.1) и спроецировать ее на некоторую плоскость π₀, то координаты точки А, естественно, исказятся и будут равны ℓ_х, ℓ_y, ℓ_z. Они не равны ℓ и не равны между собой.

Отношения называются коэффициентами искажения по аксонометрическим осям.

Очевидно, принимая различное взаимное расположение натуральной (декартовой) системы координат и аксонометрической плоскости π₀ и задавая разные направления проецирования S, можно получить множество аксонометрических проекций, отличающихся друг от друга как направлением аксонометрических осей, так и величиной коэффициентов искажений вдоль этих осей.

Справедливость этого утверждения была доказана немецким геометром Карлом Польке.

Теорема Польке. Три отрезка произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на прямоугольных осях координат от начала.

На основании этой теоремы аксонометрические оси и коэффициенты искажений по ним могут выбираться произвольно.

Однако, для унификации построений в инженерной практике используются стандартные аксонометрические проекции, часть которых мы и рассмотрим в этом разделе.

Для начала дадим несколько определений.

Если направление проецирования S перпендикулярно плоскости проецирования π₀, то такие проекции называются прямоугольными аксонометрическими.

Если коэффициенты искажений равны по всем аксонометрическим осям (к_х=к_у=к_z), то такая аксонометрическая проекция называется изометрией.

Если коэффициенты искажений одинаковы для каких-либо двух осей (например, к_х=к_z), то такая аксонометрическая проекция называется диметрией.

Если коэффициенты искажений различны для всех осей (к_х≠к_у≠к_z), то такая аксонометрическая проекция называется триметрией.

Независимо от вида для прямоугольных аксонометрических проекций между коэффициентами искажений существует следующая зависимость:

к_х²+к_у²+к_z²=2

Данное определение доказуемо, однако, в целях упрощения изложения, принимаем эту формулу без доказательств.

Как было уже указано, в практике построений используется ограниченное число аксонометрических проекций, которые стандартизированы и подлежат обязательному соблюдению.

Рассмотрим некоторые, наиболее распространенные из них.

7.1. Прямоугольная изометрическая проекция

Для изометрической проекции все коэффициенты искажений по аксонометрическим осям равны между собой, т.е. к_х=к_у=к_z=к. Так как для прямоугольной аксонометрии

к_х²+к_у²+к_z²=2 то получаем: 3к²=2 отсюда к=0,82. Такие коэффициенты искажений по соям называются натуральными.

Д ля изометрии углы между осями одинаковы и равны 120^◦, обычно ось z принимают вертикальной (рис.7.2).

Н а рис.7.3. показана изометрическая проекция куба с размерами ребер, равными "а".

Как видно из рисунка, размеры куба по осям откладываются уменьшенными по сравнению с оригиналом. Пользоваться такими коэффициентами искажений неудобно. Поэтому, для упрощения построений допускается принимать коэффициенты искажений по осям, равным единице (к_х=к_у=к_z=1) и откладывать по осям неискаженные размеры фигуры. Такие коэффициенты искажений называются приведенными. В этом случае, увеличение линейных размеров изображения по сравнению с действительными происходит в 1/0,82=1,22 раза.

Изометрические оси обычно проводят с помощью транспортира, либо треугольника с углами 60^◦ и 30^◦. Те же углы можно построить с помощью циркуля (рис.7.4).

П орядок построений следующий.

Проводим вертикальную ось Z₀ и отмечаем на ней точку "О".

Из точки "О", как из центра, проводим окружность любого, по возможности большего радиуса и отмечаем на вертикальной оси точку "1".

Из точки "1", не изменяя раствора циркуля, делаем на дуге окружности засечки (точки "2" и "3").

Соединив центр "О" с точками "2" и "3", строим оси Х₀ и У₀.

В качестве примера на рис.7.5. приведена ортогональная проекция пирамиды (а) и ее изометрическая проекция (б). Для упрощения построений начало аксонометрических осей (точку 0) расположили в центре основания пирамиды.

20.Прямоугольная иометрия.

Для диметрических проекций к_х=к_z=к. Если взять к_у=0,5к, то получим

к²+ к²+0,25к²=2

отсюда к=0,94.

Тогда к_х=к_z=0,94, к_у=0,47.

Следовательно, в прямоугольной диметрической проекции по двум осям (Х₀ и Z₀) получается сокращение линейных размеров до 0,47ℓ от фактического (ℓ). Такие коэффициенты искажений называются натуральными.

Д ля диметрических проекций ось Z₀ располагают, как правило, вертикально. Углы между осями будут следующими (рис.7.7).

Приближенно диметрические оси можно построить, если принять

tg7^◦10≈1/8, tg41^◦25'=7/8

Тогда диметрические оси можно построить, как показано на рис.7.8.

Ось Y₀ может быть проведена также как биссектриса угла x₀oz₀. Эту биссектрису можно провести также с помощью циркуля (рис.7.9).

И з точки О проведем дугу окружности произвольным радиусом. На пересечении ее с осями х₀ и z₀ отмечаем точки А и В. Далее из точек А и В делаем две засечки этим же радиусом, через пересечение которых (точку Т) пройдет биссектриса ОТ, продолжение которой и будет осью Y₀.

Указанными выше коэффициентами искажений и диметрическими осями пользоваться неудобно. Поэтому на практике разрешается пользоваться приведенными коэффициентами искажений по осям (к_х=к_z=1, к_у=0,5).