2.6. Потенциальные функции как дф

Потенциальная функция ψ() известна как ядро в оценке плотности вероятности, или есть функция Х иZ_k^m, определенная в пространстве образов, гдеZ_k^m –m-ый прототип, определяющий классw_k. Потенциальная функция хорошо иллюстрируется на рис. 2.15 для одномерного пространства образов. Этот потенциал определяет уменьшающееся соотношение между точкойZ_k^m и точкой х по мере того, как расстояниеd(x,Z_k^m) между двумя точками увеличивается.

Рис. 2.15 Потенциальная функция одной переменной.

Суперпозиция индивидуальных ядер потенциальных функций будет использоваться как ДФ

которая определена для класса К, где N_k– число прототипов в классе К. Функции ψ могут различать классы или даже прототипы между внутри класса. Для ψ желательны следующие характеристики:

1. ψ(x,z) должна быть максимальна приx=z.

2. ψ(x,z) должна быть приближенно равна 0 дляxотличающегося отzв заданной области.

3. ψ(x,z) должна быть гладкой (непрерывной) функцией и стремиться к монотонному уменьшению с увеличением дистанцииd(x,z)

4. Если ψ(x₁,z) = ψ(x₂,z), образыx₁иx₂должны иметь приблизительно одинаковую степень подобия сz.

Если определен ряд потенциальных функций, которые формируют удовлетворительную ДФ как

тогда

Это будет помогать упрощению вычисления ψ и окончанию вычислений d(x).

Так, например,

и

после умножения

мы получим

,

что намного проще, чем ψ₁(x,z).

Другая форма потенциальной функции может быть выбрана для образца образа Z.

где λ_i,i=1, 2,… - константы и Ψ_i,i=1, 2,… ортонормальные функции, такие, что

Если [Ψ_i] – полный ортонормальный набор, тогда для решающей функции φ_кимеем

Эта процедура наиболее привлекательна, когда или число выборок N_kмало, или размерность пространства достаточно мала для того, чтобыd(x) могла быть запомнена как таблица для дискретных значенийX. Однако, если число выборок велико, вычислительные проблемы будут серьезными и могут возникнуть проблемы с памятью.

21