- •2.1. Решающие поверхности и дискриминантные функции
- •2.2. Линейные дискриминантные функции
- •2.2.1. Общая форма лдф
- •2.2.2. Классификация по минимуму расстояния
- •2.2.3. Линейная разделимость
- •2.3. Кусочно-линейные дискриминантные функции (клд)
- •2.3.1.Определение клд и правило ближайшего соседства
- •Случай 3.
- •2.4.Нелинейные дискриминантные функции
- •2.5.2. Емкость φ-машин для классификации образов.
- •2.6. Потенциальные функции как дф
2.4.Нелинейные дискриминантные функции
ЛДФ — это простейшие ДФ, но часто приходится использовать нелинейные ДФ (НЛДФ). Квадратическая функция имеет следующий вид:
Первый набор весов в (2.3.1) в правой части состоит из nвесовwij= 1,2,…,n, второй наборwjk j=1,2,…,n-1,k= 2,3,…,n, состоит изn(n-1)/2 весов, и третий -wjj,j=1,2,…,n– изnвесов, и последний наборwn+1 – только один коэффициент. Отсюда следует, что полное число весовd(x) равно (n+1)(n+2)/2. Выражение 2.31 можно представить в матричной форме.
Отметим, что если все собственные числа λ матрицы А положительны, то квадратичная форма xTAxникогда не будет отрицательной иxTAx=0, если= 0. Это значит, что матрица А — положительно определенная и квадратичная форма тоже положительно определенная. Однако, если один или более λ равно 0, в то время как другие положительны, матрица А будет положительно полуопределенной.
Вспомним, что решающая поверхность определяется как
dj(x) = di(x)
или
dj(x) -di(x) = 0
Для квадратического случая квадратическая разделяющая поверхность определяется уравнением
Варианты квадратической поверхности будут определяться матрицей А=(Ai-Aj). Если А положительно определена, то решающая поверхность будет гиперэллипсоидом с осями в направлении собственных чисел. Если А=aI- единичная матрица, то реш. поверхность будет гиперсферой. ЕслиA– положительно полуопределена решающая поверхность есть гиперэллипсоидальный цилиндр , состоящий из пересекающихся областей в виде гиперэллипсоидов меньшей чемnразмерности с осями в направлении ненулевых собственных векторов. В другом случае (когда А отрицательно определена) – решающая поверхность – гиперболоид.
2.4. Ф-машины
Ф-машины (φ) вид классификаторов, в которых для классификации используются φ функции. φ функция (обобщенная дискриминантная функция записывается в виде:
где fi(x);i=1,…,M- линейно независимо вещественные, однозначно определенные функции, независимые отWi.
Отметим, что φ(х) – линейно относительно Wi, однако,fi(x)- необязательно предполагается линейным.
В этой системе имеется М+1 степеней свободы. Для примера возьмем ту же нелинейную, которая рассмотрена в 2.4.
Схематически диаграмма φ машины для этой проблемы показана на рис. 2.13.
Fблок – это квадратичный процессор иF=(f1,f2,…,fM). Первыеnкомпонентесть, следующиеn(n-1)/2 компонент есть все парыи последниеnкомпонентобщее число компонент М =n(n+3)/2. Т.о. мы имеем трансформациюn-мерного пространства образов в М-мерное φ-пространство.
2.5.2. Емкость φ-машин для классификации образов.
Вычислим число дихотомий, которые могут быть получены для Nобразов. Предположим, что М=2 и мы имеемNn-мерных образов. Т.к. каждый образ может попасть либо вw1, либо вw2, существует 2N различных путей, которымиNобразов могут быть дихотомизированы. ДляN=3 мы будем иметь 8 дихотомий,N=4 – 16 дихотомий. Общее число дихотомий, которое может обеспечить ЛДФ (φ-машина, в φ-пространстве) зависит только отnиN, но не от того, как расположены образы в пространстве образов, образованном φ-функциями.
Пусть D(N,n) будет числом дихотомий, которые могут быть получены линейной машиной (линейные дихотомии) дляNобразов вn-мерном пространстве. На примере, приведенном на рис. 2.14 для 4 образов показаны все возможные линейные дихотомии.
Каждая линейная поверхность liделит образы двумя способами.
Например l3.
Общее число линейных дихотомий Nточек вn-мерном евклидовом пространстве равно удвоенному числу путей, которыми эти точки могут быть разделены (n-1)-мерными гиперплоскостями. Так,D(4,2) = 2*7 = 14. Сравнивая с общим числом возможных дихотомий 2N= 16, мы находим, что две дихотомии линейно нереализуемы. На рис. видно, что точки (x1,x4) и (x2,x3) не могут быть линейно разделены. Можно показать, что общее число линейных дихотомий определяется следующим соотношением.
Обобщим эту проблемму нахождения вероятности получить желаемую дихотомию. Для заданной φ-машины и последовательности из Nобразов в пространстве образов возможно 2Nдихотомий и любая из них может быть выбрана с вероятностью 2-N. Для обобщенной решающей функции
вероятность PN,Mтого, что любая дихотомия может быть получена, определяется как:
PN,M= число φ-дихотомий / общее число возможных дихотомий =D(N,M)/ 2N.
Отметим, что PN,M=1 дляN<=M+1, что означает, что число образов меньше числа возможных весов для обобщенной решающей функции и, соответственно, образы могут быть всегда линейно разделены в М-мерном пространстве образов. Проведенный выше анализ не говорит нам как выбратьd(x) или φ(х), однако он оценивает возможность данной машины осуществлять дихотомию образов. Например, если у нас для двух классов имеетсяNобразов, мы можем быть уверены, что если взять большое М, то всегда найдется подходящий.
Возьмем параметр λ.
N= λ(M+1)
И построим зависимость:
PN,M = PN,λ
Рис.
Видно, что пороговое значение λ = 0,5. Тогда можно определить дихотомизационную мощность решающего правила как:
С=2(М+1)
Видно, что чем больше размерность, тем больше мощность. Мощность – это пороговое значение длины обучающей выборки при котором еще можно получить заданную дихотомию с достаточно высокой вероятностью.
Линейный классификатор.
Пример: для двух классов в двухмерном пространстве с квадратической ДФ мы имеем
Тогда емкость дихотомизации будет С=2(М+1) = 20
Если N<20 мы имеем возможность надежного выбора.
Этот пример говорит нам сколько нужно иметь элементов в хорошей обучающей выборке.