Запаздывающее звено
Звено, которое воспроизводит на выходе звена входной показатель без искажения или, изменяя его в k раз, но с запаздыванием во времени на постоянную величину τ называется запаздывающим звеном. Уравнение запаздывающего звена в последнем случае имеет вид:
(2.43)
где – время запаздывания;
k – коэффициент передачи.
Соответственно, его передаточная функция представляется выражением:
.
(2.44)
График переходной функции звена y(t) = h(t) =1(t-τ) представлен на рисунке 2.13.
Рисунок 2.13. Примерный вид переходного процесса в запаздывающем звене при k=0.8 и
Переходная функция запаздывающего звена аналогична переходной функции пропорционального звена, но смещена по времени на величину т.
2.2.7. Нелинейное звено
Важную роль при математическом описании динамических свойств экономических систем выполняют нелинейные звенья. Они отражают особенности влияния на выходные показатели тех или иных свойств изучаемых элементов экономической системы. Известно достаточно большое количество различных видов нелинейных звеньев [1, 20]. Например, если величина входного показателя звена изменяется в неограниченном диапазоне, а величина выходного показателя ограничена верхним и нижним предельными значениями, то используют функцию y = f(x) вида:
k∙a
при
x ≥ a
y = k∙x при b < x < a , (2.45)
k∙ b при x ≤ b
где x(t) – величина показателя на входе нелинейного звена;
k - коэффициент передачи.
На рисунке 2.14. приведен график изменения во времени величины y(t) при изменении во времени величины показателя x(t). Сам же график нелинейной функции y = f(x) вида (2.45) показан на рисунке 2.15.
Рисунок 2.14. Вид переходного процесса в нелинейном звене
при k=0,5; a=1; b = 0
Рисунок 2.15. График нелинейной функции y = f(x)
при k=0,5; a=1,0; b = 0,0
Как уже было отмечено ранее, нелинейные звенья могут отражать различные нелинейные зависимости y = f(x), например: параболическую, гиперболическую, степенную, кусочно-линейную и т.д. Это позволяет отразить с помощью типовых звеньев достаточно большое количество известных элементов экономических систем.
Соединения линейных типовых звеньев
2.3.1. Общие положения
Изучение динамики системы обычно начинается с составления ее структурной схемы. Графическое изображение, показывающее, из каких динамических звеньев состоит система и как они соединены между собой, называется структурной схемой данной системы.
Структурная схема, в отличие от функциональной и принципиальной схем отображает динамические свойства системы. Она является графическим условным отображением системы дифференциальных уравнений линейной стационарной системы, отражающих динамику и записанных в операторной форме по Лапласу при нулевых начальных условиях. Структурную схему можно получить из функциональной схемы, если известны передаточные функции и параметры отдельных элементов, образующих систему.
Исключением переменных можно разрешить систему уравнений относительно любой переменной и обратным переходом получить передаточную функцию. Решение данной задачи будет гораздо проще, если применить непосредственно к структурной схеме правила образования передаточных функций типовых соединений звеньев, которые составляют основу структурного анализа.
Основными типами соединений звеньев в системах являются последовательное соединение, параллельное соединение и схема с обратной связью. Очевидно, что при любых видах соединений линейных звеньев, полученная в результате соединений система, будет линейной. При наличии нелинейных звеньев задача существенно усложняется и приводит к необходимости использовать численные методы анализа. Рассмотрим вначале синтез передаточной функции системы при наличии различных соединений линейных звеньев.