2.2. Характеристики типовых динамических звеньев

2.2.1. Пропорциональное звено

Для данного звена характерна пропорциональная зависимость между входной и выходной величинами:

y(t) = k·x(t) , (2.6)

где k - коэффициент передачи.

Элементы, для которых справедливо равенство (2.6), будем называть пропорциональным звеном. Из формулы (2.6) следует, что передаточная функция пропорционального звена численно равна коэффициенту передачи:

. (2.7)

Оценим динамические свойства пропорционального звена по переходной функции h(t), т. е. по реакции звена на входной показатель, изменяющийся во времени ступенчато, как единичная ступенчатая функция.

y, x

x(t)

y(t)

0 t

Рисунок 2.1. Вид переходного процесса в пропорциональном звене

при k=0,5

В этом случае на выходе звена будем иметь показатель y(t), величина которого будет в k раз (k<1) отличаться от величины входного показателя x(t), как это показано на рисунке 2.1. Таким образом, пропорциональное звено мгновенно воспроизводит входной показатель, изменяя его величину в k раз. При этом переходной процесс отсутствует, т.е. пропорциональное звено является безынерционным звеном.

2.2.2. Устойчивые и неустойчивые апериодические звенья

Звено называется устойчивым апериодическим, если переходной процесс в нем описывается дифференциальным уравнением вида:

, (2.8)

где Т — постоянная времени;

k — коэффициент передачи.

В этом случае передаточная функция звена имеет вид:

, (2.9)

где является характеристическим уравнением с одним отрицательным корнем p = ─1/T.

Переходная функция апериодического звена y(t) = h(t) достигает своего установившегося значения не сразу, а постепенно по экспоненциальному (апериодическому) закону, из-за чего звено и получило свое наименование.

Уравнение, описывающее переходной процесс при скачкообразном изменении функции x(t) и нулевых начальных условиях, имеет вид:

. (2.10)

График переходного процесса y(t) показан на рисунке 2.2. Апериодическое звено отражает инерционность изменения изучаемого процесса, и поэтому его иногда называют инерционным звеном. Мерой инерционности является постоянная времени Т. Переходной процесс в основном заканчивается при t = (З÷4) ∙Т. Чем меньше величина Т, тем апериодическое звено ближе по своим динамическим свойствам к пропорциональному звену.

Рисунок 2.2. Вид переходного процесса в устойчивом апериодическом звене при k=0,8; T=4

Если переходные процессы в звене описываются дифференциальным уравнением

(2.11)

то передаточная функция будет иметь вид:

(2.12)

а значит, характеристическое уравнение будет следующим:

T∙p – 1 = 0. (2.13)

В этом случае корень характеристического уравнения будет положительным (p = 1/T), а переходной процесс y(t) устремится по экспоненте в бесконечность:

_{. (2.14)}

График переходного процесса показан на рисунке 2.3.

Рисунок 2.3. Вид переходного процесса в неустойчивом апериодическом звене при k=0,8; T=4

В целом можно считать, что уравнения (2.11) – (2.14) являются математическим описанием динамики неустойчивого апериодического звена.