2.2.3.2. Характеристики устойчивых и неустойчивых апериодических звеньев второго порядка

Характеристическое уравнение устойчивого апериодического звена имеет вид уравнения (2.19). Так как величина η больше или равна единице, то решение характеристического уравнения имеет два действительных отрицательных корня:

(2.23)

В этом случае звено может быть представлено как два звена с разными постоянными времени, соединенные между собой последовательно. Передаточная функция звена будет иметь вид:

(2.24)

где .

При T₁ > T₂ переходная характеристика звена записывается в виде следующего уравнения:

. (2.25)

График переходного процесса в устойчивом апериодическом звене второго порядка показан на рисунке 2.5. Как видно из рисунка, график переходного процесса включает в себя две затухающие экспоненты.

Если же величина η ≤ (-1), то получаем неустойчивое апериодическое звено второго порядка. Оба корня характеристического уравнения (2.19) положительны и определяются по формуле:

(2.26)

Рисунок 2.5. Вид переходного процесса в устойчивом апериодическом звене 2-го порядка (η ≥ 1) при k=0,8; T₁=3; T₂=4

_{В этом случае передаточная функция будет иметь вид:}

(2.27)

Переходные процессы в таком звене включают в себя две возрастающие экспоненты, а значения показателя y(t) на выходе звена устремляются в бесконечность. График переходного процесса в неустойчивом апериодическом звене второго порядка показан на рисунке 2.6.

Рисунок 2.6. Вид переходного процесса в неустойчивом апериодическом звене 2-го порядка (η ≤- 1) при k=0,8; T₁=3; T₂=4

Рассмотрим динамические свойства звена, описываемого дифференциальным уравнением второго порядка в случаях, когда величина η больше нуля, но меньше единицы, а также, когда η больше минус единицы, но меньше нуля. Это соответствует устойчивому и неустойчивому колебательным звеньям второго порядка.

2.2.3.3. Характеристики устойчивых и неустойчивых колебательных звеньев второго порядка

Характеристическое уравнение устойчивого колебательного звена также имеет вид уравнения (2.19). Однако корни характеристического уравнения в этом случае комплексно-сопряженные, с отрицательной вещественной частью:

, (2.28)

где α = –η/T, β = sqrt(1 – η²)/T.

Так как, корни комплексно-сопряженные, то в поведении звена присутствует колебательная составляющая. Именно за эту особенность поведения звено получило название колебательного звена.

Переходная функция звена имеет вид:

, (2.29)

а передаточная функция будет выглядеть следующим образом:

(2.30)

Графики переходных процессов y(t) в колебательных звеньях при η=0,4 и η=0,1 приведены на рисунке 2.7 и рисунке 2.8, соответственно. Из графиков переходных процессов, приведенных на рисунках 2.5., 2.7. и 2.8., видно, что с ростом η амплитуда колебаний y(t) на выходе звена уменьшается и при η ≥ 1 колебания исчезают. Наоборот, при малых значениях η амплитуда колебаний возрастает, а степень затухания колебаний снижается. При этом величина параметров k и T определяют величину установившегося значения y(t) и инерционность его изменения в переходном процессе, соответственно.

Для неустойчивого колебательного звена второго порядка справедливо неравенство: 0 > η > -1. В этом случае характеристическое уравнение (2.19) будет иметь два комплексно-сопряженных корня с положительной вещественной частью:

_{. (2.31)}

Рисунок 2.7. Вид переходного процесса в устойчивом

колебательном звене 2-го порядка при k=0,5; T₁=1,5; η =0,4

Рисунок 2.8. Вид переходного процесса в устойчивом

колебательном звене 2-го порядка при k=0,5; T₁=1,5; η =0,1

_{Передаточная функция звена имеет вид:}

(2.32)

Переходной же процесс описывается уравнением:

. (2.33)

График переходного процесса представлен на рисунке 2.9. Как видно из графика, функция y(t) с ростом времени увеличивает амплитуду колебаний до бесконечно больших значений.

Рисунок 2.9. Вид переходного процесса в неустойчивом

колебательном звене 2-го порядка при k=0,5; T₁=1,5; η = -0,1

Если значения η приближать к нулю, то колебания показателя y(t) становятся постоянными. В связи с этим звено при η=0 получило название консервативного звена 2-го порядка. Для выявления ряда особенностей, характеризующих динамические свойства данного звена, рассмотрим его более подробно.