- •Предмет физики
- •Раздел 1. Физические основы механики.
- •Глава 1. Кинематика.
- •§1.1. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности.
- •§1.2. Кинематика поступательного и вращательного движений.
- •§1.3. Закон (кинематическое уравнение) движения
- •§1.4. Скорость
- •§1.5. Ускорение
- •§1.6. Равномерное и равнопеременное движения.
- •§ 1.7. Связь между линейными и угловыми кинематическими характеристиками.
- •§ 1.8. Краткие итоги главы 1.
- •§ 1.9. Примеры
- •Глава 2. Динамика
- •§2.1. Задача динамики. Динамические характеристики
- •§2.2. Виды сил.
- •§2.4. Момент инерции.
- •§2.5. Момент силы.
- •§2.6. Уравнение динамики
- •§2.7. Итоги главы 2.
- •П римеры
- •Глава 3. Законы сохранения в механике.
- •§ 3.1.Фундаментальный характер законов сохранения
- •§ 3.2. Закон сохранения импульса.
- •§3.3.. Работа силы. Мощность.
- •§ 3.4. Механическая энергия.
- •§ 3.5. Закон сохранения механической энергии
- •§ 3.6. Столкновения тел
- •§ 3.5. Закон сохранения момента импульса
- •§ 3.6. Итоги главы 3
- •Примеры
- •Глава 4. Элементы специальной теории относительности
- •§ 4.1. Закон сложения скоростей. Постулат о скорости света
- •§ 4.2. Релятивистское сокращение длины и замедление времени
- •§ 4.3. Релятивистская динамика
- •Примеры
- •Раздел 2. Электромагнетизм
- •Глава 5. Электростатика
- •§ 5.1.Электрический заряд. Закон Кулона.
- •§5.2. Электрическое поле. Напряженность.
- •§ 5.3. Теорема Гаусса.
- •§ 5.4. Потенциал и работа электростатического поля.
- •§ 5.5. Связь напряженности и потенциала электростатического поля.
- •§ 5.6. Электростатическое поле в веществе.
- •§ 5.7. Электроемкость. Конденсатор.
- •§ 5.8. Энергия электрического поля.
- •Глава 6. Постоянный электрический ток.
- •§ 6.1. Электрический ток: сила тока, плотность тока
- •§ 6.2. Механизм электропроводности
- •§ 6.3. Законы постоянного тока.
- •§ 6.4. Работа и мощность тока
- •Глава 7. Магнитное поле тока
- •§ 7.1 Магнитное взаимодействие. Магнитное поле
- •§ 7.2. Закон Био-Савара-Лапласа
- •§ 7.3. Вихревой характер магнитного поля.
- •§ 7.4. Действие магнитного поля на токи и движущиеся электрические заряды
- •§ 7.5. Магнитное поле в веществе
- •Глава 8. Явление электромагнитной индукции
- •§ 8.1. Основной закон электромагнитной индукции
- •§ 8.2. Самоиндукция и взаимная индукция
- •§ 8.3. Энергия магнитного поля
- •§ 8.4. Вихревое электрическое поле. Уравнения Максвелла
- •Раздел 3. Физика колебаний и волн
- •Глава 9. Свободные и вынужденные колебания
- •§ 9.1. Гармонический осциллятор
- •Подведем итоги:
- •§ 9.2. Примеры гармонических осцилляторов.
- •1) Физический маятник
- •§ 9.3. Затухающие колебания
- •§9.4. Вынужденные колебания. Резонанс.
- •Глава 10. Волны
- •§ 10.1.Упругие волны
- •§ 10.2. Электромагнитные волны
- •§ 10.3.Энергия волн
- •§ 10.4. Волны и передача информации
- •Глава 11. Волновая оптика
- •§ 11.1.Световая волна
- •§ 11.2. Интерференция. Когерентность.
- •§ 11.3.Способы наблюдения интерференции света
- •§ 11.4. Дифракция. Условия ее наблюдения. Принцип Гюйгенса - Френеля
- •§ 3.5. Метод зон Френеля.
- •§ 11.6. Дифракция на щели. Дифракционная решетка как спектральный прибор.
- •§ 11.7. Голография
- •§ 11.8. Поляризация света.
- •§ 11.9. Рис. 3.12 Получение и применение поляризованного света
§9.4. Вынужденные колебания. Резонанс.
Для поддержания колебаний необходимо компенсировать потери колебательной энергии с помощью какого-либо внешнего источника. Очевидно, что внешняя сила, поддерживающая колебания, не может быть постоянной или действовать однократно. Она должна быть периодической. В простейшем случае это может быть гармонически изменяющаяся сила:
F=F0 sint. Такую силу называют вынуждающей, а колебания под действием вынуждающей силы - вынужденными. В уравнении движения помимо возвращающей силы и силы трения появится еще вынуждающая сила:
md2x/dt2=-kx-rv+Fo sint. (9.4.1)
Используя обозначения, введенные в уравнении (9.3.2), получим:
d2x/dt2+2 dx/dt+02x =(F0/m)sint. (9.4.2)
Это уравнение отличается от (9.3.2) только наличием правой части, т.е. является неоднородным. Из математики известно, что его решение есть сумма двух решений: общего решения соответствующего однородного уравнения (это затухающие колебания) и частного решения уравнения (9.4.2). По прошествии некоторого времени вследствие затухания первое слагаемое обратится в ноль и в установившемся режиме движение описывается только вторым слагаемым - частным решением. Найдем его. Из опыта понятно, что под действием периодической силы система будет колебаться с частотой этой силы. Поэтому решение уравнения (1.43) логично предположить в виде:
x=Asin(t+). (9.4.3)
A и - постоянные, соответственно амплитуда и начальная фаза, значения которых надо определить. Для этого подставим (9.4.3) в (9.4.2) .В результате получим:
A(02-2)sin(t+)+2A cos(t+)=(F0/m)sint (9.4.4)
П отребуем, чтобы последнее уравнение обратилось в тождество. Для этого воспользуемся методом векторных диаграмм. В левой части (9.4.4) складываются два гармонических колебания с одинаковыми частотами и отличающимися на /2 начальными фазами. Их можно изобразить взаимно перпендикулярными векторами и сложив, получить вектор, соответствующий правой части (9.4.4), что представлено на рис.43. Используя простые математические преобразования, получим:
A=(F/m)/ (9.4.5)
tg=-2 /(02-2) (9.4.6)
Из этих формул следует, что амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний не зависят от начальных условий, а определяются только параметрами колебательной системы и возвращающей силы. Это закономерно, так как мы рассматриваем установившийся режим, когда свободные колебания уже “затухли” и система “забыла” свое начальное состояние.
Рассмотрим, как влияет частота вынуждающей силы на величину амплитуды A. Из формулы (9.4.5) следует, что при =0 (постоянная сила) система сместилась на расстояние x0=A=F0/(m02)=F0/k и вновь уравновесилась. Если , то A0. Это означает, что вследствие инерционности система не успевает реагировать на слишком часто изменяющееся направление внешнего воздействия и остается на месте. При некотором значении частоты вынуждающей силы амплитуда резко возрастает и достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - резонансной частотой р. Очевидно, что резонансная частота соответствует минимуму подкоренного выражения в формуле (9.4.5). Дифференцируя его и приравнивая результат к нулю (т.е. проведя исследование функции на экстремум), получим:
р= . (9.4.7)
Проанализируем полученную формулу: трение препятствует движению, замедляет его, увеличивая период и уменьшая резонансную частоту по сравнению с частотой собственных колебаний. Если трение мало (0), то резонансная частота практически совпадает с собственной частотой.
Подставим в формулу (1.4.5) формулу (1.4.7), найдем резонансную амплитуду:
Ар = (9.4.8)
В частности, при 0
Ар (9.4.9)
А если 0, то Ар. Существует правило: солдаты строем по мосту не ходят. Оно делается вполне понятным, если вспомнить про резонанс.
С энергетической точки зрения резонанс представляет собой способность колебательной системы активно поглощать энергию, сообщаемую ему источником колебания. Резонанс – это максимально благоприятный отклик колебательной системы на внешнее воздействие. Анализируя способность студентов усваивать учебный материал, можно сказать, что ближе к концу семестра возникает резонанс: студенты на лету схватывают сообщаемую им преподавателями учебную информацию.