§2. Базис и координаты в векторном пространстве.
Определение. Пусть в векторном пространстве L выполнены еще две аксиомы:
А9. Существуют n линейно независимых векторов;
А10. Любые n +1 векторов линейно зависимы.
Тогда говорим, что векторное пространство L имеет размерность n и пишем dim L = n. Для векторного пространства размерности n используется обозначение Ln.
Определение. Базисом в Ln называется любая система, состоящая из n линейно независимых векторов. Векторы, входящие в базис, называются базисными.
Пусть B ={e1, e2,…, en} – базис в Ln, а x Ln – любой вектор. Тогда система {x, e1, e2,…, en} состоит из n +1 векторов, а значит, эти векторы линейно зависимы. Пусть
ox +1e1+ 2e2 +…+ nen = o, ()
и комбинация нетривиальная. Тогда обязательно o0. Действительно, если o= 0, то () превращается в условие линейной зависимости базисных векторов:
1e1+ 2e2 +…+ nen = o.
Но эти векторы по определению линейно независимы. Противоречие.
Итак, поскольку o0, то из () получаем
x = e1+ e2 +…+ en .
Обозначим xi = –i /o и получим
x = x1e1+ x2e2 +…+ xnen .
Определение. Числа x1, x2,…, xn называются координатами вектора x в базисе B. Пишем x(x1, x2,… xn)B.
Если y = y1e1+ y2e2 +…+ ynen , то
x + y = (x1+ y1)e1+ (x2 + y2)e2 +…+( xn + yn)en ,
x = x1e1+ x2e2 +…+ xnen .
Таким образом, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
Сопоставим каждому вектору x(x1, x2,… xn) столбец, составленный из его координат:
x1
y1
x(x1, x2,… xn) X = x2 , y(y1, y2,… yn) Y = y2 ,
xn yn
x1+
y1
x1
x + y X +Y = x2 + y2 , x X = x2 ,
xn+ yn xn
Мы видим, что операциям над векторами соответствуют точно такие же операции над их координатными столбцами. Поэтому с точки зрения линейной алгебры произвольное векторное пространство Ln устроено точно также, как и Rn. Говорят, что Ln изоморфно Rn или, что Rn является моделью пространства Ln.
Замечание. Более точное определение изоморфизма векторных и евклидовых пространств изучается в курсе алгебры. Рекомендуется также ознакомиться с темой, как изменяются координаты вектора при замене базиса.