§2. Аффинное преобразование.

Определение. Преобразование плоскости f :  ^–  называется аффинным, если оно действует по формулам вида

(5)

х= а₁₁х + а₁₂ у + а₁,

у= а₂₁х + а₂₂ у + а₂,

и при этом,  = а21 а22;\s\up10 (а11 а12  0 (последнее условие, на самом деле, можно доказать: если  = 0, то f не будет биекцией).

В матричном виде формулы (5) можно переписать так:

X= AX + C , (5)

где

A = а21 а22;\s\up10 (а11 а12 , C = Combin .

Используя формулы (5) можно доказать, что

1. Определение аффинного преобразования не зависит от выбора СК, т.е. при выборе другой СК (даже если она не будет декартовой или будет иметь другое начало координат) преобразование будет задаваться формулами вида (5).

2. Последовательное выполнение двух аффинных преобразований есть аффинное преобразование.

3. Преобразование обратное к аффинному тоже является аффинным.

4. Тождественное преобразование является аффинным.

5. Аффинное преобразование переводит прямые в прямые.

6. Аффинное преобразование однозначно определяется заданием трех точек, не лежащих на одной прямой и их образов: A= f (A), B= f (B), C= f (C).

Докажем, например, 3. Решим систему уравнений (5) относительно неизвестных x и y. Получим формулы

х = b₁₁(х– а₁) + b₁₂(у– а₂),

у = b₂₁(х– а₁) + b₂₂(у– а₂),

г де B = b21 b22;\s\up10 (b11 b12 = A^–1. Обозначим b₁= – b₁₁а₁ – b₁₂ а₂ , b₂= – b₂₁а₁ – b₂₂ а₂ и получим

(6)

х = b₁₁х + b₁₂ у + b₁,

у = b₂₁х + b₂₂ у+ b₂ .

Это формулы такого же вида, что и (5).

5. Пусть l – прямая на плоскости. Её уравнение можно записать в общем виде как ax + by + c = 0 . Подставим в него (6) :

a(b₁₁х + b₁₂ у + b₁) + b(b₂₁х + b₂₂ у+ b₂) + c = 0.

После преобразований получим уравнение вида

ax + by + c = 0 . (7)

Значит l= f(l) – тоже прямая, которая задается уравнением (7).

Замечание. Часто аффинное преобразование определяют, как переводящее прямые в прямые, и потом доказывают, что оно определяется уравнениями вида (5). Мы ещё раз вернемся к аффинным преобразованиям при изучении раздела «Методы изображений»; в частности, тогда будет доказано свойство 6.

Преобразование вида (5) можно представить виде композиции двух преобразований f = p₁ f₁, где f₁ оставляет неподвижным начало координат и действует по формулам

 X= AX ,

х= а₁₁х + а₁₂ у,

у= а₂₁х + а₂₂,

а p₁ – это параллельный перенос:

х= х+ а₁,

у= у+ а₂.

Примем без доказательства, что преобразование f₁ можно представить виде композиции поворота, гомотетии и сжатия по одному из направлений.