- •Часть II. Аффинное пространство.
- •Содержание.
- •Глава 5. Группы преобразований
- •§2. Аффинное преобразование.
- •§3. Группа преобразований.
- •§4. Группа преобразований плоскости Минковского.
- •Глава 6. Аффинное и евклидово пространство
- •§1. Векторное пространство. Линейная зависимость векторов.
- •§2. Базис и координаты в векторном пространстве.
- •§3. Евклидово векторное пространство.
- •§4. Аффинное и евклидово точечное пространство.
- •§5. Краткий обзор геометрии пространства a4.
- •Глава 8. Теория кривых
- •§1. Вектор-функция скалярного аргумента;
- •§2. Понятия пути и кривой. Гладкая и регулярная кривая. З амена параметра.
- •§3. Касательная прямая. Нормальная
- •§4. Соприкасающаяся плоскость к кривой. Главная нормаль. Бинормаль.
- •§5. Длина кривой. Натуральный параметр.
- •§6. Кривизна и кручение кривой. Формулы Френе.
- •Примем без доказательства, что для кривой заданной уравнением с произвольным параметрoм, то
- •Теорема 6. Регулярная кривая класса с3 имеет кручение в каждой точке, где кривизна отлична от нуля. Если c(s) – естественная параметризация кривой , то
- •В процессе доказательства теоремы 6 мы выяснили, что
§3. Касательная прямая. Нормальная
плоскость кривой.
Определение. Пусть – некоторая кривая, P – точка на ней. Выберем близкую к ней точку Q. Прямую PQ назовем секущей. Если при Q – P стремится занять определенное положение l, то секущая прямая l называется касательной к кривой в точке P.
Математически более точным является следующее определение.
Определение. Пусть – некоторая кривая, P – точка на ней, а l – некоторая прямая, проходящая через P. Выберем близкую к P точку Q. Обозначим d = PQ , – расстояние от Q до l. Если Combin = 0, то прямая l называется касательной к кривой в точке P.
Теорема 1. Гладкая регулярная кривая имеет в каждой своей точке касательную и, притом, единственную.
Доказательство. Пусть c(t) – гладкая регулярная параметризация кривой , P = c(to), Q = c(t) – близкая к P точка. Тогда
PQ;\s\up10( –( = c(t) – c(to) , d = PQ;\s\up10( –( = c(t) – c(to) .
Пусть l – некоторая прямая, проходящая через P, – единичный направляющий вектор этой прямой, а – угол между и PQ;\s\up10( –(. Тогда
= dsin = PQ;\s\up10( –( sin = PQ;\s\up10( –( ,
(мы домножили на , т.к. =1). Отсюда
= = = .
Перейдем в этом равенстве к пределу при d – 0 t – to :
lim;\s\do9(t ( to = .
З начит, равенство нулю этого предела равносильно c(to) = o;\s\up8(–( c(to) . Таким образом, прямая l будет касательной вектор c(to) будет её направляющим вектором. Поскольку путь c(t) регулярный, то c(to) o;\s\up8(–( , и касательная прямая существует и однозначно определяется этим вектором и точкой P = c(to).
Пусть кривая задана уравнением r;\s\up8(–( = c(t). Из теоремы вытекает, что касательная к , проходящая через точку P(xo, yo, zo) = c(to), задается уравнением
= = . (1 )
Если кривая расположена на плоскости, то в этом уравнении будет отсутствовать второе равенство (координата z).
Кривая на плоскости может быть задана уравнением в неявном виде:
(x, y) = 0. (2)
Пусть r;\s\up8(–( = c(t) – параметрическое уравнение этой же кривой
y = c2(t).
Тогда при подстановке этих уравнений в (2) мы получаем тождество:
(c1(t), c2(t)) 0.
Продифференцируем его по t :
c1 (t) + c2 (t) = 0. ()
Обозначим grad = ( , ) . Тогда равенство () равносильно
(grad ) · c(t) 0.
Это означает, что в каждой точке P=c(to), на кривой вектор градиента
gradP, вычисленный в этой точке перпендикулярен вектору c(to), т.е. является вектором нормали для касательной к кривой в этой точке P. Значит уравнение касательной в точке P имеет вид:
(x – xo) + (y – yo) = 0, (3)
где все производные вычисляются в точке P(xo, yo).
Если кривая задана уравнением в явном виде y = f (x), то мы можем переписать уравнение так: y – f (x) = 0, и, применяя уравнение (2), получим уравнение касательной
y – yo = f (xo)(x – xo). (4)
Определение. Любая прямая, проходящая через точку P, перпендикулярно касательной к кривой в этой точке называется нормалью кривой. Если регулярная кривая расположена на плоскости, то нормаль у нее в каждой точке одна, а если кривая находится в пространстве – то бесконечно много. Тогда все нормали лежат в одной плоскости перпендикулярной касательной. Эта плоскость называется нормальной плоскостью к кривой в точке P.
Пусть r;\s\up8(–( = c(t) – параметрическое уравнение кривой, P(xo, yo, zo) = = c(to). Тогда вектор c(to) будет перпендикулярен нормальной плоскости, а значит её уравнение
c1 (to) (x – xo) + c2 (to)(y – yo) + c3 (to)(z – zo) = 0. (5)
Если кривая расположена на плоскости, то уравнение нормали к ней в точке P:
c1 (to) (x – xo) + c2 (to)(y – yo) = 0.
Если кривая задана уравнением в неявном виде (2), то вектор gradP будет направляющим вектором нормали к ней в точке P, а значит уравнение нормали:
= .