Добавил:

Studfiles2 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет "ЛЭТИ"

Предмет:

Теоретические основы электротехники

Файл:

Расчет линейных электрических цепей постоянного тока

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2014

Размер:

412.09 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Рассчитываем токи:

I5 = U20R− E125 = 0,044 А;

125

				′
I30	=	U20 − E7			= – 0,163 А.

′			R347
Ток I6 определяем по закону Кирхгофа:
		′	+ J6	= 0,
I6 + I6
откуда
′		′	– J6	= – 0,118 А.
I6 = – I6
I6	= U20 = – 0,082 А;
		R6

Рассчитываем напряжения U21, U23 и U30 (рис. 1.15). По второму закону Кирхгофа имеем

U21 − I5 R12 = E12 ,

откуда

U21 = I5 R12 + E12 = 10,984 В.

Напряжения:

U23 = I30 R34 = – 4,446 В;

U30 = U20 − U23 = – 4,536 В.

Рассчитываем токи I1; I2 ; I3 ; I4 ; I7 (схема рис. 1.11).

По второму закону Кирхгофа имеем

U21 + I1R1 = E1,

откуда

I1 = E1 − U21 = 0,04 А.

По закону Ома:

I2 = U21 = 0,084 А;

I3 = U23 = – 0,103 А;

I4 = − U23 = 0,059 А.

По второму закону Кирхгофа имеем

I7 R7 − U30 = −E7 ,

откуда

I7	=	U30 − E7	= – 0,063 А.

		R7

Выполняем проверку правильности решения. Рассчитываем баланс мощностей. Мощность источников Рист определяется из выражения:

Pист = E5 I5 + E1I1 − E7 I7 − U20 J6 + U30 J7 =

=24 0,044 + 15 0,04 – 8(– 0,063) – (– 8,982) 0,2 + (– 4,536) 0,1=

=3,511 Вт.

Мощность, рассеиваемая в резисторах РR,

PR = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 + I52 R5 + I62 R6 + I72 R7 =

= 0,042 100 + 0,0842 130 +(– 0,103)2 43 + 0,0592 75 + 0,0442 91 + + (– 0,082)2 110 + (– 0,063)2 200 = 3,511 Вт.

Получаем Рист = РR, задача решена верно.

1.3. Контрольные вопросы и задачи

1. Сформулировать первый и второй законы Кирхгофа.

2. Методом преобразования найти токи в резисторах (рис. 1.17). Параметры рези-

сторов: R1 = 45 Ом; R2 = 90 Ом;			R3 = 30 Ом. Источники: Е = 12 В; J = 0,2 А.
а)	R1	R3	б)	R2

	E		J
		R	R1	R3

		2

Рис. 1.17

3. Рассчитать токи в резисторах (рис. 1.18). Параметры резисторов: R1 = 45 Ом;

R2 = 20 Ом;		R3 = 15 Ом. Источники: Е = 15 В; J = 0,5 А.
а)	R1	R3	б)	R2
	E	2E	J	0,5J
	E	R2	R	R
			1	3
		Рис. 1.18

2. Метод узловых напряжений

2.1. Общие сведения

Метод узловых напряжений основан на уравнениях первого закона Кирхгофа. В соответствии с методом определяются напряжения q − 1 узла электрической

цепи относительно некоторого базисного узла. Эти напряжения называются узловыми. Положительные направления узловых напряжений всегда принимаются от узла к базисному узлу. Число уравнений относительно искомых узловых напряжений равно числу независимых узлов q − 1.

Напряжение на любой ветви равно		m	Ig		Eg			Rg		k
разности узловых напряжений. Ток I g


любой ветви определяется по второму									Uk 0
закону Кирхгофа для контура: ветвь– на-				Um0					Uk 0
пряжения узлов ветви относительно ба-				Um0
зисного (рис. 2.1). Так для фрагмента це-
пи со схемой рис. 2.1 уравнение второго							0
закона Кирхгофа имеет вид
закона Кирхгофа имеет вид
Ig R + Uk 0 − Um0 = Eg ,						Рис. 2.1
откуда	Eg − Uk 0	+ Um0
Ig =	Eg − Uk 0	+ Um0		.
Ig =				.

Каноническая форма уравнений метода узловых напряжений для случая трех независимых узлов имеет вид:

G11 U10 –G12 U20 –G13 U30 = J11;

–G21 U10 +G22 U20 –G23 U30 = J22 ;

–G31U10 –G32 U20 +G33 U30 = J33 .

Здесь G11; G22 ; G33 –

собственные проводимости ветвей узлов 1, 2, 3, соответст-

венно; G12 = G21; G23 = G32 ;

G13 = G31– общие проводимости ветвей одновременно при-

J g			R4
R1	2	E3	R3	3
R1			R3

надлежащих двум узлам. J11; J22 ; J33 – узловые токи.

Способ определения этих величин поясняет фрагмент схемы цепи с тремя независимыми узлами (рис. 2.2).

Собственная проводимость ветвей узла 2:

R2 J2

Рис. 2.2

G =	1	+	1	+	1	+	1
G =	R	+	R	+	R	+	R
22	R		R		R		R
	1		2		3		4

определяется как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих узлу 2. Общие проводимости:

G12 =G21= R11 ; G23 =G32 = R13 + R14 ; G13 =G31=0

определяются как суммы проводимостей ветвей, принадлежащих соответственно узлам 1–2, 2–3 и 1–3 одновременно.

Вклад в узловые токи дают ветвями, содержащие источники. Узловой ток равен алгебраической сумме токов эквивалентных генераторов тока. Для узла 2 (рис. 2.1) имеем

J22	=	E1	−	E3	+ J g − J2 .

		R1		R3

Источник, стрелка которого направлена к узлу, в уравнение входит со знаком плюс, из узла со знаком минус.

2.2. Решение типовых задач

Задача 2.1

Записать узловые уравнения для цепи со схемой рис. 2.3.

	R21		R22
1	R1	2	E3	R3	3
	R1			R3

J4	U10		U20		R6
J4	U10		U20
	R4	R5		U30	E6
				U30	E6

Рис. 2.3

Решение

В схеме рис. 2.3 четыре узла ( q = 4 ). Число узловых уравнений n = q −1= 3 . Выбираем в качестве базисного узел 0. Уравнения имею вид:

G11 U10 –G12 U20 –G13 U30 = J11;

–G21 U10 +G22 U20 –G23 U30 = J22 ;

–G31U10 –G32 U20 +G33 U30 = J33 .

Собственные проводимости узлов 1, 2 и 3:

G =

; G =

+ R

R R

Общие проводимости:

; G =G =

;

+ R

Узловые токи:

J11 = J4 ; J22

= −

; J33

−

Задача 2.2

Рассчитать токи ветвей в электрической

цепи по схеме рис. 2.4.

Параметры резисторов: R1 = 200 Ом;

I2 2 I3

R2 = 100 Ом; R3 = 125 Ом; R4 = R3. Ис-

точники: E = 15 B, J = 0,5 A. Решение

U20

проверить балансом мощностей.

U30

Решение

U10

Определяем положительные

направле-

ния токов ветвей как на рис. 2.4. В схеме

цепи три независимых узла. Приняв в

Рис. 2.4

качестве базисного узел 0, принадлежащий ветви с идеальным источником, получаем

U 30

= E = 15 В.

Узловые уравнения для узлов 1 и 2 имеют вид:

G11U10 − G12U 20 − G13U30 = J11;

− G21U10 + G22U 20 − G23U 30 = J 22 .

Собственные проводимости:

= 0,015 1/Ом; G

= 0,026 1/ Ом.

R3 R4

Общие проводимости:

= G

= 0,01 1/ Ом; G

= 5 10−3 1/ Ом;

G23

= 8 10−3 1/ Ом.

Узловые токи:

J11 = J = 0,5 А; J22 = 0.

Получаем уравнения для расчета неизвестных узловых напряжений:

0,015U10 − 0,01U20 = 0,5 + 5 10−3 15;

− 0,015U10 + 0,026U20 = 8 10−3 15.

Решив эти уравнения, найдем узловые напряжения:

U10 = 55,7 В; U20 = 26,03 В.

Токи ветвей:

U10

− U30

55,7 −15

= 0,2 А;

200

U10

− U20

55,7 − 26,03

= 0,3 А;

100

U20

− U30

26,03 −15

= 0,09 А;

125

U20

26,03

= 0,21 А.

125

Ток I в ветви с источником э. д. с. Е определяем из уравнения Кирхгофа для узла 3. Имеем

I = −I1 − I3 = −0,2 − 0,09 = −0,29 А.

Рассчитываем баланс мощностей. Мощность источников

Pист = U10 J + EI = 55,7 0,5 + 15 (−0,29) = 23,47 Вт.

Мощность, рассеиваемая в резисторах

Pн = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 =

= 0,22 200 + 0,32 100 + 0,092 125 + 0,212 125 = 23,47 Вт.

Получаем Pист = Pн, баланс мощностей выполняется. Программа расчета в пакете Mathcad.

200

100 R3

125 R4

15 J

0.5

G11

G22

G12

G21

G12

G13

G23

G11 = 0.015 G22 = 0.026

G12 = 0.01

G13 = 5 10

G23 = 8 10

G13.E

U10

G11

G12

U20

G21

G22

G23.E

←Исходные данные.

←Определение и расчет собственных и общих проводимостей.

←Расчет матрицы узловых напряжений.

U10 = 55.69

U20 = 26.03

U30

U30 = 15

U10

U30

I1 = 0.2

U10

U20

I2 = 0.3

← Расчет токов ветвей.

U20

U30

I3 = 0.09

U20

I4 = 0.21

Расчет баланса мощностей.

I =

0.29

Pej U10.J

E.I

Pej = 23.47

← Мощность источника.

Pn I12.R1 I22.R2

I32.R3

I42.R4

Pn = 23.47

← Мощность нагрузок.

Задача. 2. 3

Найти токи ветвей в цепи со схемой замещения рис. 2.5.

Параметры ветвей: R1 = 110 Ом;

R2 = 91 Ом; R = 47 Ом; E = 100 B;

J = 1 A.

I2 2 I3

Проверить решение, составив ба-

ланс мощностей.

U20

U30

Решение

U10

Определяем положительные

направления токов. Всхеме цепи

три независимых узла. Принявв

Рис. 2.5

качестве базисного узел 0, получаем

U 20

= E = 100 В.

Записываем уравнения для расчета напряжений узлов 1 и 3:

G11U10 − G12U20 − G13U30 = J11;

− G31U10 − G32U20 + G33U30 = J33 .

Собственные проводимости узлов 1 и 3:

G = 1

1 ; G =

1 .

Общие проводимости узлов 1– 2; 3 – 2; 1 – 3:

= 1

; G = 1 ; G13 = G31 = 0.

Узловые токи:

J11 = – J; J33 = J.

Подставляем численные значения, получаем:

= 1

+ 1 = 0,0304 Ом–1; G

= 0,0323 Ом–1;

110

= 1

= 0,0213 Ом–1; G

= 1

= 0,0213 Ом–1;

J11 = – 1; J33 = 1.

Узловые уравнения принимают вид: 0,0304U10 – 0,0213100 = – 1;

0,0213100 + 0,0323 U30 = 1,

откуда

U10 = −1+ 2,13 = 37,17 В; U30 0,0304

=1+ 2,13 = 96,9 В.

0,0323


Токи ветвей:
I1	=	U10		= 0,3376 А; I2		=	E − U10				= 1,3376 A;

			R1					R
I3	=		E − U30		= 0,0652 A; I4			=	U30	= 1,0652 A.
			R
									R2

Ток

I = I3 + I2 = 1,4028 А.

Для проверки решения составляем уравнения баланса мощностей: − мощность, рассеиваемая резисторами,

PR = I12 R1 + I22 R + I32 R + I42 R2 = 200 Вт. − мощность, генерируемая источниками,

Pист = EI + (U30 − U10 )J = 200 Вт.

Баланс мощностей выполняется.

Задача. 2.4

На рис. 2.6 представлена схема замещения электрической цепи, содержащая зависимый источник тока, управляемый током. Найти напряжение U2 нанагрузке

R , если R1 = 220 Ом; R2 = 20 Ом; R3 = 470 Ом; R = 510 Ом. Параметр α = 0,95

– коэффициент усиления по току, напряжение Е = 5 В.

Решение

αI1

I1	R1	1	I3	R3	2
	E		I2	U2	R
			R2	U2	R
			R2
			0
		Рис. 2.6

Назначаем положительные направления токов. Уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 имеют вид:

−I1 + I2 + I3 + αI1 = 0;

−I3 − αI1 + UR2 = 0 .

Выражаем токи ветвей через напряжения U1 и U2 узлов 1 и 2 относительно узла 0. По закону Ома:

I1 =	E −U1	; I2	=	U1	; I3	=	U1 −U2	.

	R1			R2			R3

Подставляем эти выражения в уравнения по первому закону Кирхгофа, получаем узловые уравнения:

1− α

(1− α);

−

= α

Из уравнений имеем:

G =

1− α

; G =

; G

−

;

(1− α);

= α

Следует обратить внимание, что в схеме замещения цепи с зависимым источником G12 ≠ G21, а каноническую форму узловых уравнений непосредственно по

виду схемы без определения неких дополнительных правил получить нельзя.

Записываем полученные уравнения в матричной форме

GnnUn0 = Jnn ,

G11

− G12

J11

–

где Gnn = − G

– матрица узловых проводимостей,

Jnn = J

матрица узловых токов,

Un0

1 матрица узловых напряжений.

Решение матричного узлового уравнения имеет вид

Un0 = Gnn−1Jnn .

Подставляем численные значения, получаем:

0,052

−

2,128 10

−3

Gnn =

; Jnn = 1,136 10

;

2,191 10−3

4,088 10−3

0,022

Un0 =

0,231

5,157

откуда

U1= 0,231 В;U2 = 5,157 В.

Правильность решения проверяем балансом мощностей. Мощность, рассеиваемая в резисторах и зависимом источнике тока:

P =

(E − U1)2

U12

(U1 − U2 )2

+ α

E − U1

− U

);

пот

Pпот= 0,108 Вт;

Мощность источника

Pист = E E − U1 = 0,108 Вт.

Pпот= Pист , задача решена верно.

Задача. 2.4

На рис. 2.7 представлена схема замещения разветвленной электрической цепи. Рассчитать токи ветвей методом узловых напряжений. Параметры резисторов:

R1 = 100 Ом; R2 = 130 Ом; R3 = 43 Ом; R4 = 75 Ом; R5 = 91 Ом; R6 = 110 Ом; R7 = 200 Ом. Источники: Е1= 15 В; Е5 = 24 В; Е7 = 8 В; J6 = 0,2 А; J7 = 0,1 А.

Проверитьвыполнение баланса мощностей.

R1		E1		R3
I1	R2	I2	I4	I3
1		I2	I4	R4
1			2	3
				3
I5				I7
I5				I7

R5		R6	R7
J6		I6	J7
E5		I6
E5		′	E7
		′	E7
	0	I6
	0
		Рис. 2.7

Решение.

В схеме q = 4 узлов. По методу узловых напряжений необходимо составить три уравнения. Положительные направления токов в ветвях указаны на рис. 2.7. Каноническая форма записи узловых уравнений имеет вид

G11U10 − G12U20 − G13U30 = J11,

−G21U10 + G22U20 − G23U30 = J22 ,

−G31U10 − G32U20 + G33U30 = J33 ,

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Теоретические основы электротехники

#
01.05.20141.29 Mб78Недостающие конспект лекций по ТОЭ (вопросы 19-23).tif
#
01.05.2014401.92 Кб225Опорный конспект по теории электрических цепей..pdf
#
01.05.20145.63 Mб144Основы теории электрических цепей.djvu
#
01.05.2014764.93 Кб270Ответы на экзаменационные вопросы 4 семестра.doc
#
01.05.2014829.16 Кб103Расчет линейных электрических цепей переменного тока.pdf
#
01.05.2014412.09 Кб76Расчет линейных электрических цепей постоянного тока.pdf
#
01.05.2014412.09 Кб39Расчет линейных элктрических цепей постоянного тока.pdf
#
01.05.2014109.3 Кб50Решение задачи 1.1.1.jpg
#
01.05.2014532.48 Кб881Шпаргалки по ТОЭ 3 семестр.doc
#
01.05.2014619.01 Кб498Шпаргалки по ТОЭ 4 семестр.doc
#
01.05.20141.05 Mб22Электропитающие ситемы и электрические сети.doc