32. Методы многокритериальной оптимизации. Метод идеальной точки.

Критериальное пространство.

Пусть альтернативы из множества Ω рассматриваются относительно некоторых свойств f₁,…,f_n.

Если свойство f – альтернативы может быть выражено числом, т.е. существует то такое свойство называют критерием, а значение φ(x) называют оценкой альтернативы x по критерию f.

Аспектом называют сложное свойство, которое агрегирует в себе другие свойства.

Если все свойства альтернатив f₁,…,f_n из множества Ω являются критериями, т.е. , то тем самым определено отображение так, что .

Считая, что множество Ω содержится в , пространство будем называть критериальным пространством. векторы в .

Пусть . Определим функцию выбора на Ω следующим образом. Положим . Таким образом, является максимально возможным значением по i-му критерию. Точка такая, что является решением обычной однокритериальной задачи оптимизации. Предполагается, что Ω – замкнутое ограниченное множество в , поэтому решения указанных задач существуют.

Положим . Точка а называется идеальной. Смысл названия связан с тем, что такие точки оптимальны сразу по всем критериям: получить большее значение ни по одному критерию невозможно. Очевидно, что для всех справедливо аРх. Как правило, идеальная точка а не принадлежит Ω.

Зададим для всех точек функцию, являющуюся евклидовымрасстоянием между точками х и a:

.

Методом идеальной точки называется принцип оптимальности, который может быть выражен с помощью функции выбора С_I:

,

где а(Х) – точка, идеальная для множества X.

Решение общей задачи оптимизации <Ω, ОП>, в которой принцип оптимальности выражается функцией выбора C_OП = С_I, сводится к решению обычной однокритериальной задачи оптимизации .

x3 – решение задачи оптимизации с использованием метода идеальной точки.

Теорема:

Пусть Ω выпукло. Тогда C_I(Ω) состоит из одной точки.

Доказательство.

Пусть . Это значит, что точки находятся на равном расстоянии от точки а. Проведем двумерную плоскость через и обозначим через середину отрезка с концами в . В прямоугольном треугольнике катет меньше, чем гипотенуза . В силу выпуклости Ω точка принадлежит Ω. Так как , то . Полученное противоречие доказывает утверждение.

Для произвольных множеств может состоять из нескольких точек.

Функция выбора обладает следующим свойством.

Теорема:

Для любого имеет место включение .

Доказательство.

Пусть а – идеальная точка, . Предположим, что теорема неверна. Это значит, что для некоторой точки выполнено уРх. С учетом, что aPx имеем аРх, аРу и уРх. Положим а – х = (а – у) + (у – х). В силу аРу и уРх все компоненты векторов а – у и у – х неотрицательны. Поэтому каждая компонента вектора а – х не меньше, чем соответствующая компонента а – у, и найдется компонента, которая строго больше. Следовательно, длина вектора а – х больше, чем длина вектора а – у. Но это противоречит тому, что . Полученное противоречие доказывает теорему.