26. Бинарные отношения. Операции над отношениями. Свойства бинарных отношений.

Бинарные отношения.

Свойства предметов окружающего мира, относимые к наборам, состоящим из n предметов, называются n-арными отношениями. (n – любое натуральное число). Т. о., бинарные отношения – свойства предметов, относимые к парам предметов.

Важный момент в задаче принятия решений состоит в изучении (задании) системы предпочтений ЛПР (лицо, принимающее решение). Язык бинарных отношений – язык описания системы предпочтений ЛПР.

Простейшая ситуация, которая позволяет сделать обоснованный выбор из нескольких объектов, возникает, когда задан один "критерий качества", позволяющий сравнить любые два объекта, четко указать, какой из них лучше, и выбрать тот (или те), на котором этот критерий достигает максимального значения. Однако в большинстве реальных ситуаций выделить один такой критерий не удается; более того, часто вообще трудно выделить критерии. Тем не менее, для некоторых пар объектов можно указать, какой из объектов пары лучше (предпочтительнее) другого. В таких случаях говорят, что эти два объекта находятся в бинарном отношении. Понятие бинарного отношения позволяет формализовать операции попарного сравнения. Поэтому они широко используются в теории выбора.

Отношением R на множестве X называется подмножество R множества X×X , т.е. RͼX×X.

Содержательный смысл такого определения состоит в том, что задание подмножества R в множестве X×X определяет, какие пары находятся в отношении R. Если пара <х, у> входит в R, т.е. <х, у> ͼR, то пишут xRy.

Для того чтобы задать отношение R на множестве X, нужно указать все пары <х, у>ͼX×X, которые содержатся в R, т.е. пары <х, у>ͼX², для которых выполняется отношение R. Кроме непосредственного указания всех пар, для которых выполняется отношение R, существуют три основных способа задания отношения: задание отношения матрицей; задание отношения графом; задание отношения сечениями.

Задание матрицей. Пусть X состоит из n элементов, R есть отношение на X. Занумеруем элементы множества X целыми числами от 1 до n. Построим квадратную таблицу размера nхn. Ее i-я строка соответствует i-му элементу множества X, обозначенному через xi, а j-й столбец - элементу xj. На пересечении i-й строки и j-гo столбца ставится единица, если выполнено xi R xj, и нуль - в противном случае. Обозначим элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-гo столбца, через aij. Общее правило задания матрицы отношения R формулируется так: aij (R)=l, если выполнено xi R xj, aij (R)=0, если не выполнено xi R xj (i,j = 1,…,n).

Задание графом. Поставим в соответствие элементам конечного множества X вершины графа x1 , …, xn (при некоторой нумерации). Проведем дугу от xi к xj тогда и только тогда, когда выполнено xi R xj (при i=j дуга (xi,xj) превращается в петлю при вершине xi).

Задание сечениями. Рассмотрим отношение R на множестве X. Верхним сечением R+(x) называется множество элементов у таких, что <у, x >ͼR: R+(x) = {уͼX |<у,х >ͼR}; аналогично определяется нижнее сечение: R-(х) = {уͼX |<х,у >ͼR}. Таким образом, множество R-(x) -это множество всех элементов уͼX, с которыми фиксированный элемент хͼX, находится в отношении R. Множество R+(х) - это множество всех элементов уͼX, которые находятся в отношении R с фиксированным элементом xͼX.

Пример:

R={(a,b), (b,b), (b,c), (c,a)}. Для заданного бинарного отношения построить граф, бинарную матрицу и сечения.

Решение.

1 0 0

0 1 1

0 1 0

R+(a)={c} R-(a)={b} R+(b)={a,b} R-(b)={b,c} R+(c)={b} R-(c)={a}

Операции над отношениями.

Так как бинарные отношения являются множествами, то к ним применимы все понятия, которые вводятся для множеств.

1) Включение отношений. Отношение R₁ включено в отношение R₂, (R₁ R₂), если всякая упорядоченная пара элементов, принадлежащая отношению R₁ принадлежит и отношению R₂.

2) Дополнение отношений.

Отношение называется дополнением отношения R, если оно выполняется для тех и только тех пар, для которых не выполняется отношение R. Очевидно, что . В матричной записи:

В графе отношения G( ) присутствуют только те дуги, которые отсутствуют в графе G(R).

3) Обратное отношение.

Обратное отношение R^-1 определяется условием xR^-1yΞyRx.

В матричной записи a_ij(R^-1) = a_ji(R), , т.е. A(R) = A^T(R). Граф отношения G(R^-1) получается из графа отношения G(R) путем замены направления у всех дуг.

4) Пересечение отношений.

Пересечением отношений R₁ и R₂ (обозначается ) называется отношение, определяемое пересечением соответствующих подмножеств из X². В матричной записи

5) Объединение отношений.

Объединением отношений R₁ и R₂ (обозначается ) называется отношение, определяемое объединением соответствующих подмножеств из X². В матричной записи

6) Произведение отношений.

Произведением отношений R₁ и R₂ называется такое отношение , что и Пример 1: R1 - быть братом R2 – быть родителем R1° R2 – брат одного из родителей (быть дядей)

Пример 2: R1={(a,b), (c,c),(b,c)} R2={(b,b), (c,a),(b,a)} R1° R2={(a,b), (a,a),(c,a),(b,a)}

7) Отношение двойственности. Двойственным к R называют отношение = .

Свойства бинарных отношений.

1) Рефлексивность.

Бинарное отношение R на множестве X называется рефлексивным, если каждый элемент множества X находится в отношении R сам с собой.

Если отношение представлено с помощью графа, то рефлексивность этого отношения означает, что в каждой вершине графа обязательно имеется петля; для отношения, заданного с помощью булевой матрицы, его рефлексивность равносильна тому, что по главной диагонали этой матрицы стоят только 1.

2) Антирефлексивность.

Бинарное отношение R, заданное на множестве X, называется антирефлексивным, если ни один элемент из множества X не находится в отношении R с самим собой

Oтношение, не являющееся рефлексивным не обязано быть антирефлексивным. Если отношение представлено с помощью графа, то антирефлексивность этого отношения означает, граф не имеет петель; для отношения, заданного с помощью булевой матрицы, его АР равносильна тому, что по главной диагонали этой матрицы стоят только 0.

3) Симметричность.

Отношение R называют симметричным, когда выполняется условие

В графе симметричного отношения все стрелки двойные, матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали. A(R) = A^T(R)

4) Асимметричность. Отношение R называют асимметричным, если В графе асимметричного отношения нет двойных стрелок и петель.

5) Антисимметричность.

Отношение R называют антисимметричным, если . В графе антисимметричного отношения нет двойных стрелок, возможны петли. На языке матриц антисимметричное отношение характеризуется тем, что все элементы матрицы , лежащие вне главной диагонали, равны нулю (матрица получается путем поэлементного перемножения соответствующих элементов.

6) Транзитивность.

Отношение R называют транзитивным, если , т.е.

7) Ацикличность.

Отношение R называют ацикличным, если .

Для ацикличного отношения , где