28. Функции выбора. Логические формы функций выбора.

Функции выбора.

В практической ситуации выбора при некотором множестве альтернатив Ω лицо, принимающее решение, выбирая некоторую альтернативу, руководствуется своим личным представлением о лучших альтернативах. У разных лиц в одной и той же ситуации (при одном X) представление о лучших альтернативах может различаться, а следовательно, они могут выбирать разные альтернативы. При этом каждый из них может привести вполне рациональное обоснование сделанного выбора. Даже при выборе одних и тех же альтернатив разными лицами обоснования могут различаться. Таким образом, по известному выбору в конкретной ситуации вряд ли можно сказать что-либо определенное о тех причинах, которые побудили сделать именно данный выбор, а не другой, т. е. восстановить логику выбора. Рассмотрим несколько взаимосвязанных ситуаций выбора, в которых множества альтернатив X являются подмножеством Ω. Обозначим через С(Х) множество альтернатив, выделенных лицом, принимающим решение (ЛПР), из X, и установим связи между множествами С(X) при разных множествах X. Заметим, что выбор при этом осуществляет одно и то же ЛПР. Далее везде термин выбор из X будет использоваться для обозначения С(Х). Для формализации взаимной зависимости выборов С(Х) при взаимосвязанных ситуациях пользуются понятием функции выбора.

Функцией выбора Сназывается отображение, сопоставляющее каждому XΩ его подмножество С(X)ͼX.

Сопоставим произвольному бинарному отношению функцию выбора. Пусть наΩ задано бинарное отношение R. Рассмотрение всех пар элементов из Ω, для которых выполнено xRy, порождает на Ω две различные функции выбора:

,

.

Функции выбора С^R(Х) и C_R(X), порожденные бинарные отношением R, называются блокировкой и предпочтением соответственно.

Функцию блокировки С^R будем называть функцией выбора, порожденной отношением R. Такие функции называются также нормальными.

Функции выбора С^R(Х) и C_R(X) связаны соотношениями С^R = C_R^d, и C_R = , где R^d – отношение, двойственное к R.

Произвольная функция выбора С не обязательно совпадает с некоторой С^R.

Итак, каждому бинарному отношению R на Ω соответствует некоторая порожденная им функция выбора С^R на Ω; разным R могут соответствовать одинаковые С^R; функции выбора С, которые совпадают с С^R для какого-нибудь бинарного отношения <R, Ω>, называются нормальными; не все функции выбора нормальны.

Пример:

Рассмотрим функцию выбора на Ω={x, y}: C(x)=x, C(y)=O, C(x, y)={x, y}.

Определим, существует ли бинарное отношение R на Ω такое, что С=СR. Допустим, что R существует. Т.к. СR(x)=x, то верно, что xRx . Значит, неверно, что xRx. Аналогично из CR(y)=O получаем, что верно yRy . Но тогда неверно, что yRy и, значит, yͼ/CR (Ω) . А это противоречит условию. Значит, предположение о существовании R неверно. Итак, каждому бинарному отношению R на Ω соответствует некоторая порожденная им функция выбора СR на Ω; разным R могут соответствовать одинаковые СR; функции выбора С, которые совпадают с СR для какого-нибудь бинарного отношения <R, Ω >, называются нормальными; не все функции выбора нормальны.

Логические формы функций выбора.

Пусть Ω ={x₁,…,х_n}, XͼΩ . Сопоставим каждому элементу x_i булеву переменную _i. Установим взаимно однозначное соответствие между 2^N подмножеств Ω и 2^N векторов длины N с компонентами 0 и 1 по формулам

т.е. β(Ω)=<1,…,1>, β(Ø)=<0,…,0>

Пусть на Ω задана функция выбора С. Рассмотрим семейство булевых функций от N-1 переменных ) f₁(₂,…,_N),…, f_N(₁,…,_N-1), которое построено по следующему правилу:

(1)

Логической формой функции выбора С(ЛФВ(С)) называется семейство функций <f₁,…,f_N> от n-1 переменных, построенное с помощью формулы (1). Задание функции выбора эквивалентно заданию ЛФВ(С).

Пример:

Пусть Ω ={x1, x2,х3} и задана функция выбора:

X C(X) β(X) β(C(X))

O O 000 000

x1 x1 100 100

x2 O 010 000

x3 O 001 000

x1x2 O 110 000

x1x3 x3 101 001

x2x3 x2x3 011 011

x1x2x3 x2 111 010

Построим для нее ЛФВ(С). С помощью формулы (1) получим таблицы, задающие функции f1, f2, f3 .

Решение.

b 2 b 3 f1(b 2, b 3)

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0

b 1 b 3 f2(b 1, b 3)

0 0 0

0 1 1

1 0 0

1 1 1

b 1 b 2 f3(b 1, b 2)

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

При разложении функций в СДНФ, имеем: