7. Условная оптимизация. Линейное программирование. Пример постановки задачи оптимизации.

1. Пример постановки задачи оптимизации.

Для изготовления 3-х видов изделий А, В и С используется токарное, фрезерное, сварочное и шлифовальное оборудование. Затраты времени на обработку одного изделия приведены в таблице.

Определить, сколько изделий и какого вида следует изготовить предприятию, чтобы прибыль от их реализации была максимальной. Составить математическую модель задачи. Решение: Пусть будет изготовлено Х₁ единиц изделия А Х₂ единиц изделия В Х₃ единиц изделия С. Тогда при использовании фрезерного оборудования потребуется затратить 2Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃ станко-часов. Но по условию ограничения общего фонда времени 2Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃  120. Аналогично для токарного, сварочного и шлифовального оборудования: 1)Х₁ + 8Х₂ + 6Х₃  280 2)7Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃  240 3)4Х₁ + 6Х₂ + 7Х₃  360 При этом, т.к. количество изготовляемых деталей не может быть отрицательным, то Х₁  0, Х₂  0, Х₃  0. Далее, если будет изготовлено Х₁ изделий А, Х₂ изделий В и Х₃ изделий С, то прибыль от их реализации составит F = 10Х₁ + 14Х₂ + 12Х₃ Итак, мы получаем систему четырех линейных неравенств с тремя неизвестными (X_j (j = 1…3): 1)2Х₁ + 4Х₂ + 5Х₃  120 2)Х₁ + 8Х₂ + 6Х₃  280 3)7Х₁ + 6Х₂ + 7Х₃  360 Х₁  0, Х₂  0, Х₃  0. И линейную функцию F = 10Х₁ + 14Х₂ + 12Х₃ относительно этих же переменных. Требуется среди всех неотрицательных решений системы неравенств найти такое, при котором целевая функция F принимает максимальное значение. Постановка задачи линейного программирования Найти оптимум (наибольшее или наименьшее значение) целевой функции (линейной формы) на области допустимых значений системы ограничений при наличии дополнительных условий неотрицательности переменных х_j  0, j = 1,…, n. Если в системе ограничений l = m, т.е. она состоит только из уравнений, то соответствующая форма записи называется канонической.

8. Методы решения задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация.

Сущ-ют 2 основных метода решения задачи ЛП: решение на основе геометрической интерпретации (геометрический способ) и симплекс-метод.

Геом. способ только для двумерных задач, т.е. при n = 2. В этом случае область допустимых значений – выпуклый многоугольник на плоскости (х1,х2), являющийся результатом пересечения полуплоскостей, каждая из которых – решение соответствующего неравенства системы ограничений.

Целевая функция позволяет провести семейство параллельных прямых - так называемых линий уровня, отвечающих определенному значению линейной формы (т.е. целевой функции)..

Этапы решения задачи ЛП на основе ее геометрической интерпретации

1. строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств;

2. находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи;

3. находят многоугольник решений;

4. строят вектор С = (С₁, С₂);

5. строят прямую С₁Х₁ + С₂Х₂ = h, проходящую через многоугольник решений;

6. передвигают прямую С₁Х₁ + С₂Х₂ = h в направлении вектора С, в результате чего находят либо точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве планов; определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.