Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора

Возьмем в теле произвольную точку А (х, у, z). Через эту точку можно провести бесконечное множество площадок. Очевидно, что на одной из площадок нормальное напряжение достигнет наибольшего для данной точки значения, а на другой касательное напряжение примет свое максимальное значение.

Пусть для точки А известно положение главных осей напряженного состояния. Если их принять за систему координат (рис. 23), то в наклонной площадке с вектором нормали  (l, m, n) возникают нормальные и касательные напряжения Р(, ). Определим эти напряжения и исследуем их экстремальные свойства.

Рис. 23

Нормальные напряжения в любой наклонной площадке выражаются основной квадратичной формой (33). Запишем её с учетом того, что в качестве системы координат приняты главные оси:

_ = ₁l² + ₂m² + ₃n². (38)

Найдем квадрат полного напряжения на наклонной площадке как сумму квадратов его проекций, выражения для которых были найдены ранее (32):

Р² = P_х²+ P_у² + P_z² = ₁²l² + ₂²m² + ₃²n². (39)

Также полное напряжение на наклонной площадке можно представить как сумму нормального и касательного напряжений (17).

Таким образом, мы имеем систему трех уравнений с тремя неизвестными - l², m², n²:

 = ₁l² + ₂m² + ₃n²

² + ² = ₁²l² + ₂²m² + ₃²n² (40)

1 = l² + m² + n²

Умножим каждое уравнение на произвольные множители a, b, c и сложим, сгруппировав при этом слагаемые по направляющим косинусам

а + b(² + ²) + с =

= l²(а₁ + b₁² + с) + m ²(а₂ + b₂² + с) + n ²(а₃ + b₃² + с). (41)

Для определения величины l² подберем коэффициенты a, b, c таким образом, чтобы вторая и третья скобки в правой части уравнения (41) обнулились:

а₂ + b₂² + с = 0,

а₃ + b₃² + с = 0,

получаем

b = 1, а = -(₂ +₃), с = ₂₃.

Подставляя полученные коэффициенты в уравнение (41), находим величину l²:

l²= . (42)

Аналогично находим квадраты двух других направляющих косинусов

m ² = ,

(43)

n ² = .

В уравнениях (42) и (43) дроби должны быть больше нуля, т.к. в левых частях стоят квадраты величин. Проанализируем знаменатели дробей на основе неравенства ₁  ₂  ₃:

 0,

 0, (44)

 0.

На основе неравенств (44) можно сделать вывод о знаке числителя:

 0,

 0, (45)

 0.

Сделав ряд математических преобразований, можно показать, что неравенства (45) представляют собой области, ограниченные окружностями. Рассмотрим третье неравенство и представим его решение графически (рис. 24):

(46)

Представим решение системы (45) графически (рис. 25). Эта диаграмма называется круговой диаграммой Мора. Круговая диаграмма позволяет установить экстремальные свойства нормальных и касательных напряжений.

_

_

Рис. 24

₁ – максимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

₃ – минимальное нормальное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке;

_max = – максимальное касательное напряжение, которое может возникнуть в точке на любой наклонной площадке, действует на площадках наклоненных к главным на угол 45.

Рис. 25