- •Основные понятия и определения
- •Современный дизайн.
- •Физическая и математическая модель
- •Геометрические характеристики сечения
- •Изменение геометрических характеристик при параллельном переносе координатных осей
- •Изменение геометрических характеристик при повороте координатных осей
- •Геометрические характеристики сложных сечений
- •Метод сечений. Внутренние силы
- •Напряжение. Напряженное состояние в точке тела
- •Интегральные характеристики напряжений в точке
- •Нормальные напряжения в плоскости поперечного сечения
- •Закон парности касательных напряжений
- •Напряжения на наклонных площадках
- •Главные площадки и главные напряжения
- •Экстремальные свойства главных напряжений. Круговая диаграмма Мора
- •Испытания материалов на растяжение. Диаграмма растяжения
- •Математическая модель механики твердо деформируемого тела
- •Деформированное состояние тела
- •Касательные напряжения при кручении
- •Касательные напряжения при изгибе. Формула Журавского
- •Теории (гипотезы) прочности
- •Растяжение (сжатие) стержней
- •Кручение стержней
- •Изгиб стержней
- •Внецентренное растяжение и сжатие
Закон парности касательных напряжений
В окрестностях произвольной точки напряжённого тела выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz. На каждой из граней действует по три составляющих напряжения – нормальное напряжение и два касательных (рис. 20).
Рис. 20
Составим уравнение равновесия выделенного элемента в форме суммы моментов всех сил относительно оси X:
Мх = 0,
уdxdzdy - уdxdzdy + zdxdydz - zdxdydz + xydydz - xydydz +
+ xzdydz - xzdydz + zydxdydz - yzdxdzdy = 0,
приведя подобные слагаемые и упростив выражение, получим:
zy = yz. (29)
Составляя уравнения равновесия относительно осей Y и Z, получим аналогичные выражения:
zх = хz, (30)
хy = yх.
Полученные выражения (29), (30) определяют закон парности касательных напряжений: касательные напряжения на взаимно перпендикулярных площадках равны по величине и направлены либо к общему ребру, либо от него.
Напряжения на наклонных площадках
Элементарный объём в форме параллелепипеда, расположенный таким образом, чтобы его грани совпадали с координатными плоскостями, рассечем наклонной плоскостью (рис. 21).
Рис. 21
Положение наклонной площадки характеризуется вектором нормали с направляющими косинусами l, m, n. На наклонной площадке площадью dF действует полное напряжение Р с проекциями по осям Рх, Ру, Рz. Пусть нормальные и касательные напряжения на гранях, совпадающих с координатными плоскостями, известны. Необходимо найти нормальное и касательное напряжение на наклонной площадке – и . Площадки, отсекаемые на координатных плоскостях, будут иметь площади:
dFx = dFl, dFy = dFm, dFz = dFn.
Составим уравнение равновесия сил в проекции на ось Х:
Х = 0,
PxdF - xdFx - yxdFy - zxdFz = 0,
PxdF - xdFl - yxdFm - zxdFn = 0,
Px = xl + yxm + zxn. (31)
Аналогично, составляя уравнения равновесия сил на оси Y и Z, получаем выражения для двух других проекций полного напряжения:
Py = xyl +ym + zyn,
Pz = xzl + yzm +zn. (32)
Чтобы определить нормальное напряжение на наклонной площадке, спроецируем проекции полного напряжения на нормаль.
= Pxl + Pym + Pzn =
= xl2 + yxml + zxnl + xylm +ym2 + zynm + xzln + yzmn +zn2 .
С учетом закона парности касательных напряжений – (29) и (30), получаем основную квадратичную форму нормальных напряжений:
= xl2 + ym2 +zn2 + 2yxml + 2zxnl + 2zynm. (33)
Полученное выражение позволяет определить нормальное напряжение на любой наклонной площадке, поскольку при выводе этого выражения никаких ограничений на положение площадки не накладывалось. Теперь найдем величину касательного напряжения на наклонной площадке:
Р2 = Px2 + Pу2+ Pz2 = 2 + 2,
2= Px2 + Pу2+ Pz2 - 2. (34)