38. Назовите и поясните 5 основных свойств преобразования Фурье, которые позволяют упростить получение спектров сигналов.

Каждому сигналу u₁(t) соответствует своя спектральная функция . Укажем это соответствие символически Покажем теперь, что некоторым математическим операциям над u₁(t) соответствуют вполне определенные операции над Присущую преобразованию Фурье способность проявлять однозначное соответствие между сигналом и спектральной функцией при проведении каких – либо операций над ними будем называть свойством. Тогда можно говорить о следующих, наиболее важных свойствах преобразования Фурье.

1. Свойство линейности.

Это свойство формулируется так: если имеется некоторая совокупность сигналов u₁(t), u₂(t), u₃(t), u₄(t),…, причем , , , ,…, то взвешенная сумма сигналов (каждый сигнал умножается на свой коэффициент ) преобразуется во взвешенную сумму спектральных плотностей

(4.16)

2. Свойство временного сдвига (смещения во времени).

Пусть сигналу u₁(t) соответствует своя спектральная функция .

Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на t₀ секунд позже u₁(t – t₀). Пользуясь заменой переменных t₂ = (t – t₀), можно получить

. (4.17)

Таким образом, при сдвиге сигнала u₁(t) на величину t₀ в сторону опережения или запаздывания амплитудно – частотный спектр (модуль спектральной плотности) сохраняется неизменным, а фазочастотный спектр изменяется на величину .

3. Свойство изменения масштаба времени.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени играет новая независимая переменная kt. Если k >1, то происходит «сжатие исходного сигнала во времени», если же 0<k<1, то сигнал «растягивается во времени».

Оказывается, что если , то

. (4.18)

Изменение масштаба времени в к раз приводит к изменению масштаба частоты в 1/к раз. Кроме того, сам спектр умножается на 1/к.

4. Спектральная плотность производной и неопределенного интеграла.

Пусть . Будем изучать новые сигналы и . Можно получить следующее выражение

, . (4.19)

Дифференцированию сигнала по времени соответствует умножению его спектральной плотности на множитель jω. Поэтому принято говорить, что мнимое число jω является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Кроме того, поскольку при дифференцировании скорость изменения сигнала во времени возрастает, то это приводит к тому, что модуль спектра производной имеет большие значения в области высоких частот по сравнению с модулем исходного сигнала (говорят, что происходит подъем высокочастотных компонент спектра). Это свидетельствует о том, что дифференциаторы действуют подобно фильтру высоких частот.

Интегрированию сигнала по времени соответствует деление его спектральной плотности на множитель jω. Поэтому принято говорить, что мнимое число 1/jω является оператором интегрирования, действующим в частотной области. Модуль спектра интеграла имеет большие значения в области низких частот по сравнению с модулем исходного сигнала (говорят, что происходит подавление высокочастотных компонент спектра). Это свидетельствует о том, что интеграторы действуют подобно фильтру низких частот.

5. Спектральная плотность на нулевой частоте.

Модуль спектральной функции характеризует плотность распределения амплитуд составляющих сплошного спектра непериодического сигнала по частоте. При ω = 0 выражение для спектральной функции переходит в следующее

(4.20)

Последний интеграл это есть площадь под кривой, описывающей сигнал.

Следовательно, для любого сигнала спектральная плотность на нулевой частоте равна «площади сигнала».

Это свойство является полезным при определении структуры сигнала на нулевой частоте для импульсов прямоугольной, треугольной, трапециидальной формы, поскольку площадь таких фигур хорошо известна из геометрии.

39. Получение спектральной плотности прямоугольного импульса. Приведите графическое представление модуля и аргумента спектральной функции прямоугольного импульса. Определите понятия: амплитудно-частотный и фазо - частотный спектр, ширина спектра, нули спектральной функции.

Рис. 4.1. Прямоугольный импульс

Для нахождения спектральной плотности импульсных сигналов, представляемых отрезками прямых будем использовать прием, заключающийся в дифференцировании исходного сигнала необходимое число раз, чтобы он предстал в виде нескольких δ – функций.

Математическая модель сигнала после первого дифференцирования

Спектральная плотность производной , в соответствии со свойствами линейности и сдвига во времени и, равна

Используя связь между спектрами сигналов и их производными запишем

(4.23)

Отсюда находим модуль спектральной функции (амплитудно-частотный спектр)

(4.24)

и ее аргумент (фазо-частотный спектр)

(4.25)

Аргумент комплексной спектральной функции определяется суммой двух составляющих, где учитывает изменение знака функции . Из соотношения Эйлера следует тот факт, что если комплекснозначная функция представлена только вещественной составляющей, то изменение знака функции означает скачкообразное изменение ее аргумента на величину .

Модуль и аргумент спектральной функции прямоугольного импульса показаны на рис.4.2.

Если анализируемый импульс сдвинуть влево на половину длительности импульса, чтобы он располагался симметрично оси ординат, то в соответствии со свойством(4.17) , определяющим сдвиг во времени можем записать

(4.26)

Отсюда модуль спектральной функции (амплитудно – частотный спектр)

(4.27)

и ее аргумент (фазочастотный спектр)

4.28)

Модуль и аргумент спектральной функции прямоугольного импульса, расположенного симметрично оси ординат, показаны на рис.4.3.

Рис. 4.2. Модуль и аргумент спектральной плотности прямоугольного импульса, показанного на рис. 4.1.

Нули спектральной функции прямоугольного импульса определяются соотношением

(4.29)

Эта формула свидетельствует о том, что с уменьшением длительности импульса происходит увеличение реальной ширины спектра.

Под шириной спектра здесь и в дальнейшем будем понимать частотный интервал, в пределах которого модуль спектральной плотности не меньше некоторого наперед заданного уровня, например 0.1S_MAX.