§4.2 Построение ковариационной матрицы
Напомним,
что принимаем значения эффективности
для инвестиционных проектов 
как случайные величины, распределенные
по нормальному закону. Определим:
, (4.1)
где
n
– количество рассматриваемых
инвестиционных проектов, 
– математическое ожидание значения
эффективности для i-го
инвестиционного проекта (по предположению
соответствует входному значению
рентабельности i-го
проекта), 
– среднеквадратичное отклонение от
величины математического ожидания i-го
проекта (по предположению пропорционально
входному значению риска i-го
проекта).
Однако для поиска решения задачи необходимо, знать следующую функцию плотности распределения:
,
(4.2)
где W – ковариационная матрица, значения элементов которой еще не определены.
Нужно
отметить, что, имея выборку объема N
величин эффективности 
в качестве входных данных, также можем
построить оценки значений математического
ожидания и ковариационную матрицу по
известным формулам:
,
(4.3)
(4.4)
где
– оценка математического ожидания, а
– оценка ковариации случайного вектора
.
Как известно оценки по формулам (4.3), (4.4) являются несмещенными и эффективными.
В случае отсутствия такой вспомогательной выборки об инвестиционных проектах для построения необходимых характеристик используются экспертные оценки.
Экспертные оценки строятся на основе знаний о проектах (т.е. использования априорной информации): на базе знаний об отраслях экономики, к которым принадлежат рассматриваемые проекты (какова корреляция внутри отраслей, насколько коррелированны отрасли между собой), об общей ситуации выполнения этих проектов и как следствие корреляция будет зависеть от временных промежутков «пересечения» проектов (так называемая «временная корреляция»).
В то же время недостаток информации относительно взамосвязи проектов даже для одной отрасли может привести к внесению дополнительных ошибок нерасчетного и неметодического характера в работу.
Главную
диагональ матрицы W
образуют величины 
.
Что касается внедиагональных элементов
матрицы W
– ковариаций рентабельностей проекта,
то для оценок ковариаций используем
сведения о их временной корреляции.
Расчет парной корреляции сводится к
расчету отношения длительности
совместного выполнения рассматриваемой
пары проектов ко времени продолжения
более длительного проекта. В условиях
одновременности начала выполнения
проектов формула для расчета оценки
коэффициента корреляции имеет вид:
,
(4.5)
где
– время выполнения i-го
проекта. В случае нарушения условия
одновременности в формулу (4.5) необходимо
внести поправки.
Формула для расчета оценки ковариации имеет вид:
,
(4.6)
где
– среднеквадратичное отклонение от
математического ожидания значений
эффективности для i-го
инвестиционного проекта.
§4.3 Применение Multi-VaR-схемы формирования эффективных портфелей для определения очередности реализации инвестиционных проектов.
Напомним, что рассматривается следующая задача: имеем некоторое количество проектов и период времени, который разбит на интервалы; на каждый интервал выделена одинаковая сумма финансирования такая, что за весь период реализуется финансирование всех проектов. При этом необходимо определить очередность финансирования таким образом, чтобы проекты финансировались в порядке уменьшения их эффективности.
Как уже было отмечено, на построение ковариационной матрицы влияет пересечение временных промежутков реализации проектов, а оценкой коэффициентов корреляции является отношение времени совместной реализации проектов к длительности более продолжительного по реализации проекта.
Таким образом, рассматривается комплексная задача одновременного решения поставленной оптимизационной задачи с учетом корреляции рентабельностей проектов и построения ковариационной матрицы с учетом определяемой по ходу решения оптимизационной задачи последовательности реализации инвестиционных проектов. Решение данной комлексной задачи в работе осуществлялось посредством итераций и постепенного изменения ковариационной матрицы, подстраивающейся под изменения временных интервалов.
На практике, в серии численных экспериментов, получили следующий результат: количество необходимого числа итераций никогда не превышает двух. Это естественно, поскольку основной вклад в решение задачи вносят дисперсии, стоящие на диагонали матрицы W, которые не зависят от временных изменений и определяют поведение каждого проекта в отдельности.
В рассматриваемой постановке и сделанных предположениях верно (Приложения 3):
,
(4.7)
где
– математическое ожидание и
среднеквадратичное отклонение от
математического ожидания некоторого
портфеля, 
– численные значения критериев
Multi-VaR-схемы.
Очевидно
к наиболее эффективным проектам относятся
проекты с большими значениями
рентабельности и при 
<0.5
с небольшими значениями риска.
Варьируя числовые значения можно получать различные составы эффективнх портфелей, выбирая затем тот из них, который обеспечивает оптимизацию дополнительного критерия (см. ниже схему учета критерия адаптационной устойчивости портфеля). Итак, в очередной раз приходим к пониманию универсальности схемы поиска эффективных портфелей Multi-VaR и возможности варьирования параметрами задачи для достижения конкретных целей и нахождения оптимальных решений.