§2.2 Численные алгоритмы оптимизации
Особенностью VaR-схемы (1.2) является то, что критерий не выражается явным образом через значения управляющих переменных x, как это обычно бывает при решении подобных задач. Поскольку Multi-VaR-схема (1.3) в некотором смысле является расширением схемы VaR , то ожидаемо, что и присутствующие в ней критерии не будут явно выражены через значения управляющих переменных x. Для численного решения данной задачи использовался итерационный метод.
Кроме
того, при решении практических задач
было обнаружено наличие локальных
максимумов (функция, полученная в
результате, объединения критериев не
является выпуклой), присутствие которых
для получения правильных результатов
требует осторожности и дополнительных
поправок в алгоритм оптимизации. В
данной работе для отыскания глобального
максимума использовалось многократное
применение алгоритма поиска максимума
функции, причем каждое повторение
расчетов характеризовалось новой парой
исходных данных (начальный вектор 
,
шаг приращения Δ).
Теперь
более подробно рассмотрим два алгоритма
нахождения максимума функции 
при заданных значениях
и β, которые были использованы в работе.
Далее было произведено сравнение и
исследование алгоритмов, а также
результатов, полученных на их основе.
Зададим начальный вектор и некоторое приращение Δ.
Алгоритм 1:
Присваиваем
,
.
Одна итерация:
а)
Начиная с нулевой, проходим циклом по
всем компонентам 
вектора 
,
на каждом шаге цикла рассчитываем
вектор:
, (2.4)
где
(2.5), т.е. выбираем вектор, который на
множестве этих трех векторов доставляет
максимум функции 
.
б)
Далее рассчитывается 
- величина изменения вектора в ходе
одной операции. Если эта величина меньше
некоторого уровня погрешности (подбирается
эмпирически), то итерации останавливаются.
Если же это не так, то выполняем 
и переходим к следующей итерации. При
каждом изменении вектора
происходит проверка его на принадлежность
множеству ограничений. Наложение
ограничений и способы «возвращения»
вышедшего за пределы вектора рассматриваются
ниже.
Алгоритм 2 (алгоритм с использованием весов):
Присваиваем
,
,
и заводим новую матрицу размерности
и вектор размерности 
Одна итерация:
а)
Рассчитываем значение функции 
б)
Начиная с нулевой, проходим циклом по
всем компонентам
вектора
,
на каждом шаге цикла рассчитываем вектор
и присваиваем значение вектора
-ому
столбцу матрицы X:
, (2.6)
а также рассчитываем значение:
, (2.7)
где
рассчитываются по вышеуказанным формулам
(2.5) (в описании Алгоритм 1).
Далее расчет вектора, являющегося результатом итерации, осуществляется по формуле:
. (2.8)
в) аналогично пункту б) для Алгоритма 1.
Относительно
поиска глобального максимума необходимо
добавить следующее: в связи с тем, что
в первом приближении предполагаемый
глобальный максимум может быть найден
при довольно «грубом» значении
,
необходимо в окрестности этого максимума,
уменьшить
и таким образом уточнить полученный
результат.