Глава 2. Решение задачи многокритериальной оптимизации в рамках Multi-VaR-схемы

§2.1 Схема численного решения

Итак, при рассмотрении Multi-VaR-схемы получаем многокритериальную задачу, где число критериев больше либо равно двум. В общем случае постановка задачи многокритериальной оптимизации имеет вид:

, (2.1)

где X - множество допустимых значений переменных x; m – число целевых функций (критериев); – значение i-го критерия (целевой функции).

На самом деле часто не все критерии подлежат максимизации. Для сведения задачи минимизации к рассмотренной нами постановке достаточно умножить числовую функцию критерия на (-1). Таким образом, можно сказать, что представленный нами вид задачи многокритериальной оптимизации действительно является общим.

Решение такой задачи не даёт наилучших значений для каждого критерия, так как зачастую улучшение одного критерия вызывает ухудшение другого. Таким образом, при решении многокритериальной задачи получаем некоторое компромиссное решение либо множество компромиссных решений – решений Парето.

Кроме того различные критерии могут иметь различную «важность» в рамках многокритериальной задачи в том смысле, что улучшение по одному критерию может не покрыть ухудшение по другому критерию (по экономическому смыслу). «Важность» критериев учитывается при оптимизации уже в рамках метода, реализующего оптимизационную процедуру.

Методы решения многокритериальных задач можно разделить на две группы. Методы первой группы сводят многокритериальную задачу к однокритериальной путем свертывания векторного критерия в комплексный критерий, который оптимизируется одним из методов однокритериальной оптимизации. Существуют различные виды сверток. Наиболее распространенным способом свертывания векторного критерия является линейная свертка вида:

(2.2)

Существуют различные способы выбора коэффициентов компромисса . Одним из них является назначение в зависимости от относительно «важности» критериев. Такой подбор указанных коэффициентов можно выполнять согласно смыслу критериев, либо подбирать коэффициенты согласно некоторым требованиям на решения задачи.

Ко второй группе относятся все остальные методы многокритериальной оптимизации. Тем не менее, основу этих методов составляет подбор коэффициентов «важности» и далее оптимизация согласно некоторому алгоритму.

Согласно Multi-VaR-схеме имеем многокритериальную задачу. В данной работе проведем оптимизацию с помощью сведения многих критериев в один комплексный. При этом для решения задачи зафиксируем часть критериев, а именно множество вероятностей . Обозначим нефиксированные критерии вектором размерности . Зафиксированные критерии будут образовывать дополнительное множество параметров, наряду с коэффициентами компромисса , при каждой фиксации которых будем получать некоторое множество решений. В рассматриваемом случае все оставшиеся критерии подлежат максимизации. Задача решается следующим образом: строится функция , где вектор с неотрицательными компонентами. Тогда задача сведется к следующей:

(2.3)

Для каждого набора параметров задачи (множества и ) будет иметь место решение, которое входит во множество решений Парето при данном наборе параметров.