- •Составители: н.И. Житникова, г.И. Федорова, а.К. Галимов
- •Введение
- •Цели и задачи
- •1. Краткий перечень основных понятий теории графов
- •1.1. Общие понятия
- •1.2. Понятия смежности, инцидентности, степени
- •1.3. Маршруты и пути
- •1.4. Матрицы смежности и инцидентности
- •1.5. Связность. Компоненты связности
- •1.6. Матрицы достижимости и связности
- •1.7. Расстояния в графе
- •1.8. Образ и прообраз вершины и множества вершин
- •1.9. Нагруженные графы
- •1.10. Деревья и циклы
- •2. Решение контрольных задач
- •2.1. Компоненты сильной связности ориентированного графа
- •Алгоритм выделения компонент сильной связности
- •2.2. Расстояния в ориентированном графе
- •Алгоритм поиска минимального пути из в в ориентированном графе
- •2.3. Минимальный путь в нагруженном ориентированном графе
- •Алгоритм Форда-Беллмана нахождения минимального пути в нагруженном ориентированном графе d из vнач в vкон.( vнач ≠ vкон)
- •2.4. Эйлеровы циклы и цепи
- •Алгоритм выделения эйлерова цикла в связном мультиграфе с четными степенями вершин
- •2.5. Минимальное остовное дерево
- •Алгоритм выделения минимального остовного дерева в неориентированном нагруженном графе g
- •2.6. Задача о коммивояжёре
- •3. Задания для самостоятельного решения
1. Краткий перечень основных понятий теории графов
1.1. Общие понятия
Графы помогают описывать и исследовать различные системы объектов и их связи. Например, в графе, изображенном на рис. 1, точки (вершины графа) можно интерпретировать как города, а линии, соединяющие вершины (ребра), как дороги, соединяющие эти города.
Рис. 1.
Формальное определение графа таково [1-9]. Графом Г=(V,X) называется пара множеств: V – множество, элементы которого называются вершинами, X – множество неупорядоченных пар вершин, называемых ребрами. Если v, w V, x=(v,w)X, то говорят, что ребро x соединяет вершины v и w или x инцидентно v и w. Таким образом, {v,w} – обозначение ребра. Если Х представляет собой упорядоченные пары (т. Е. X – подмножество декартова произведения V×V), то граф называется ориентированным, а пары {v,w} называют дугами. Если множеству X принадлежат пары v=w, то такие ребра (v,v) называют петлями. Существование одинаковых пар {v,w} соответствует наличию параллельных или кратных ребер (дуг), а кратностью ребер называют количество таких одинаковых пар.
Например, кратность ребра {v1, v2} в графе, изображенном на рис. 2, равна двум, кратность ребра {v3, v4} − трем.
Рис.2.
Псевдограф − граф, в котором есть петли и/или кратные ребра.
Мультиграф − псевдограф без петель.
Заметим, что графом также называют мультиграф, в котором ни одна пара не встречается более одного раза.
Итак, используемые далее обозначения:
V – множество вершин;
X – множество ребер или дуг;
v (или vi)– вершина или номер вершины;
G, G0 – неориентированный граф;
D, D0 – ориентированный;
{v,w} − ребра неориентированного графа;
{v,v} – обозначение петли;
(v,w) − дуги в ориентированном графе;
v,w – вершины, x,y,z – дуги и ребра;
n(G), n(D) количество вершин графа;
m(G) – количество ребер, m(D) – количество дуг.
Примеры
1) Ориентированный граф D=(V, X), V={v1, v2, v3, v4},
X={x1=(v1,v2), x2=(v1,v2), x3=(v2,v2), x4=(v2,v3)}.
Рис. 3.
2) Неориентированный граф, изображенный на рис. 4:
G=(V, X), V={v1, v2, v3, v4, v5},
X={x1={v1,v2}, x2={v2,v3}, x3={v2,v4}, x4={v3,v4}}.
Рис. 4.
1.2. Понятия смежности, инцидентности, степени
Если x={v,w} - ребро, то v и w − концы ребра x.
Если x=(v,w) - дуга ориентированного графа, то v − начало, w – конец дуги.
Вершина v и ребро x неориентированного графа (дуга x ориентированного графа) называются инцидентными, если v является концом ребра x (началом или концом дуги x ).
Вершины v, w называются смежными, если {v,w}X.
Степенью вершины v графа G называется число (v) ребер графа G, инцидентных вершине v.
Вершина графа, имеющая степень 0 называется изолированной, а степень 1 – висячей.
Полустепенью исхода (захода) вершины v ориентированного графа D называется число +(v) ((v)) дуг ориентированного графа D, исходящих из v (заходящих в v).
Следует заметить, что в случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли инцидентной вершине v равен 1 как в +(v), так и в (v).