281. Что такое фазовое пространство.

Динамику сложных систем во времени удобно анализировать с помощью фазового пространства - абстрактного пространства с числом измерений, равным числу зависящих от времени переменных, которые характеризуют состояние изучаемой системы. Размерность такого пространства будет зависеть от числа переменных: для n переменных это будет n-мерное пространство, а время будет выступать в качестве внешнего параметра. Точка в таком пространстве будет соответствовать конкретному состоянию системы, а ее перемещение изменению этого состояния. На рисунке приведен пример динамики системы жертва-хищник, полученной на основании модели Вольтерра-Лотки. Параметрами этой системы является численность жертвы и численность хищника, изменение которых от времени носит колебательный характер. В фазовом пространстве этой динамике соответствует движение точки, определяющей состояние системы, по замкнутой кривой.

282. Что такое аттрактор.

Если при различных начальных условиях все траектории в фазовом пространстве будут уходить в бесконечность, это будет говорить о том, что у такой системы нет устойчивого состояния. В случае, когда все они закончатся в одной точке, т. е. система придет к конкретному состоянию, и большее с ней не будет происходить никаких изменений, то такая точка будет являться точкой устойчивого состояния. После выхода из этого состояния, под действием кратковременного возмущения, система всегда вернется в это же состояние. В этом случае, все траектории заканчиваются в точке, то есть она как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории. Такая точка называется аттрактором (англ. to attract -"притягивать") типа «притягивающая точка». Понятие аттрактор является обобщением понятия равновесия для сложных систем.

Другим видом аттрактора в фазовом пространстве будет являться замкнутая кривая, если на нее выходят все фазовое траектории, и дальнейшее движение будет происходить только по этой кривой. Т. е. система приходит к состоянию динамического равновесия, когда она циклически проходит одни и те же состояния. Такие виды аттракторов называют предельными циклами. К предельным циклам относятся и более экзотические виды аттракторов такие, когда в фазовом пространстве существует две или больше точек, к одной из которых, в зависимости от начальных условий, притягивается фазовая траектория. Затем система в определенном порядке начинает циклически перескакивать из одной точки в другую. В зависимости от числа состояний (2, 3, и т. д.), которые периодически повторяются, такие виды аттракторов называют предельными циклами периода 2, 3 и т.д.

В определенных случаях все фазовые траектории притягиваются не точкой и не замкнутой кривой, а некоторой областью фазового пространства, попав в которую и не выходя из нее, точка описывает в ней не предсказуемую, хаотическую траекторию. Эти области называются странными аттракторами, и траектории в них могут быть рассчитаны только с применением ЭВМ. Поведение системы в области странного аттрактора чувствительно к начальным условиям. Даже незначительная разница в начальных условиях двух систем приведет к тому, что в области странного аттрактора их траектории разойдутся, и в одно и то же время они будут находиться в разных состояниях.