18. Транзитивне замикання відношення. З’єднувальне відношення.

Побудова транзитивного замикання відношення є складнішою задачею, ніж побудова рефлексивного або симетричного замикання. Шляхом у відношенні R з а в b називають послідовність елементів a, x₁,x₂,…,x_n-1,b множини А таких, що (а, х₁)єR, (х₁, х₂)єR,…, (х_n-1,b)єR. Покажемо, що процедура відшукання транзитивного замикання відношення R еквівалентна процедурі визначення, які пари вершин з’єднані шляхом. Зазначимо, що шлях у відношенні R з а в b відповідає шляху з вершини а у вершину b в асоційованому графі G_R.

Нехай R – відношення на множині А. З’єднувальним називають відношення R^*, яке складається з таких пар (а,b), що існує шлях з а в b у відношенні R. Отже, R^*= .

Т-ма. Транзитивне замикання відношення R дорівнює з’єднувальному відношенню R^*.

Т-ма. Нехай множина А має n елементів і R – відношення на множині А. Тоді

R^*= =R

З цієї теореми випливає таке матричне зображення для відношення R^*:

v M_R^[2] v … v M_R^[n].

Алгоритм, O(n⁴) операцій для обчислення матриці М_R*.

19. Алгоритм Уоршала.

Алгоритм Уоршала ефективно обчислює матрицю W^(k) за матрицею W^(k-1). Шлях із a_i в a_j з внутрішніми вершинами в множині {a₁,a₂,…,a_k}. Зазначимо, що W^(k-1). Шлях із a_i в a_j з внутрішніми вершинами в множині {a₁, a₂,..,a_k} існує лише в 2 випадках:

1. Якщо існує шлях із a_i в a_j з внутрішніми вершинами в множині {a₁,a₂,…,a_k-1}.

2. Якщо існує шлях із а_і в а_к та з а_к в а_j і кожний з цих шляхів має внутрішні вершини лише в множині {a₁,a₂,…,a_k}.

Алгоритм Уоршала:

Присвоєння початкових значень.

Крок 1. Виконати W:=M_R, k:=0.

Ітерація.

Крок 2. Виконати k:=k+1.

Крок 3. Для всіх i<>k таких, що w_ik=1 і для всіх j виконати операцію w_ij:=w_ikvw_kj.

Перевірка закінчення.

Крок 4. Якщо k=n, то зупинились. Отримано розв’язок W = M_R*. Інакше – перейти до кроку 2.

Результат роботи алгоритму – матриця M_R* рефлексивного замикання відношення R.

20. Постановка проблеми кодування, її значення в інформатиці. Алфавітне і рівномірне кодування. Достатні умови однозначності алфавітного кодування.

Нехай заданий алфавіт А={a₁,..,a_r}, який складається з скінченної кількості букв. Скінченну послідовність символів алфавіту А: α= називають словом в алфавіті А, а число l – довжиною слова α. Довжину слова α позначають l(α). Множину всіх слів в алфавіті А позначають через А^*. Порожнє слово не містить жодної букви, його позначають λ, λєА^*, l(λ)=0, λ не належить А.

Якщо α=α₁α₂, то α₁ називають початком, або префіксом слова α, а α₂ – закінченням, або постфіксом слова α.

Алфавітне кодування.

Алфавітне кодування задають схемою (або таблицею кодів) σ:

а₁ ->β₁,

a₂ ->β₂,

…..

a_r ->β_r,

де а_і є А, β_і є В^*, і=1,…,r. Схема σ задає відповідність між буквами алфавіту А і деякими словами в алфавіті В. Вона визначає алфавітне кодування так: кожному слову α= з S ставиться у відповідність слово β= . Це слово β називають кодом слова α. Слова β₁,…,β_r називають елементарними кодами.

Рівномірне кодування.

Рівномірне кодування з параметрами k та n визначають так. Повідомлення α розбивають на блоки довжини k:

, де s<=k (останній блок може бути коротший, у такому разі спосіб його кодування спеціально обумовлюється), x_iєА, і=1,…,mk+s. Блоки довжини k розглядають як букви деякого алфавіту (таких блоків є, очевидно, r^k, оскільки, алфавіт А складається з r букв) і кодують словами в алфавіті В однакової довжини n за схемою рівномірного кодування σ_k,n:

….

Надлишковістю схеми σ_k,n на символ повідомлення називають величину R=(n-k)/k=n/k -1.