15. Відношення еквівалентності.
Розглянемо відношення, які одночасно мають декілька властивостей у потрібній комбінації. Відношення на множині А називають відношенням еквівалентності, якщо воно рефлексивне, симетричне й транзитивне. Два елементи множини А, які зв’язані відношенням еквівалентності, називають еквівалентними.
Оскільки відношення еквівалентності за означенням рефлексивне, тов. будь-якому відношенні еквівалентності кожний елемент є еквівалентним сам до себе. Більше того, оскільки відношення еквівалентності за означенням транзитивне, то з того, що а та b еквівалентні, b та с еквівалентні випливає, що а та с еквівалентні.
З відношенням еквівалентності тісно пов’язане поняття класу еквівалентності й розбиття множини на класи. Нехай R є відношенням еквівалентності на множині А. Множину всіх елементів, які еквівалентні де елемента аєА, називають класом еквівалентності (елемента а). Клас еквівалентності, який породжений елементом а за відношенням R, позначають [a]R. Якщо мають на увазі певне відношення еквівалентності, то позначають [a]. Отже: [a]R={s|(a,s)єR}. Якщо bє[a]R, то b називають представником цього класу еквівалентності.
Т-ма. Нехай R – відношення еквівалентності на множині А. Тоді такі твердження рівносильні:
aRb
[a]=[b]
[a]
[b]
Кожне відношення еквівалентності породжує розбиття множини А (на класи еквівалентності).
16. Відношення часткового порядку.
Відношення R на множині А називають відношенням часткового порядку (або частковим порядком), якщо воно рефлексивне, антисиметричне, транзитивне. Множину А із частковим порядком R називають частково впорядкованою множиною і позначають (A, R).
Два елементи a та b частково впорядкованої множини (A, R)називають порівняльними, якщо aRb або bRa. Якщо а та b такі елементи, що ані aRb, ані bRa, то їх називають непорівняльними.
Якщо (A, R) частково впорядкована множина, й якій будь-які 2 елементи порівняльні, то таку множину називають тотально, або лінійно впорядкованою, а частковий порядок R називають тотальним, або лінійним порядком.
Елемент частково впорядкованої множини називають максимальним, якщо він не менший від будь-якого елемента цієї множини. Отже, а є максимальним елементом частково впорядкованої множини (A, R), якщо не існує такого bєA, що а передує b (а менше b).
Аналогічно, елемент називають мінімальним, якщо він не більший від будь-якого елемента частково впорядкованої множини. Отже, а є мінімальним, якщо не існує такого bєА, що b передує а (b менше а). Мінімальні та максимальні елементи легко визначити на діаграмі Хассе – це, відповідні, «верхні» і «нижні» її елементи. («верхні» елементи не мають висхідних ребер, а «нижні» - низхідних).
17. Рефлексивне замикання відношення. Симетричне замикання відношення.
Нехай R – відношення на множині А. Відношення R може не мати деяких властивостей. Наприклад, воно може не бути рефлексивним або симетричним.
Замикання відношення R за властивістю Р називають найменше відношення С, яке має властивість Р і таке, що R (підмножина) С. Термін «найменше відношення»,означає, що С є підмножиною будь-якого відношення S, для якого виконуються умови:
S має властивість Р,
R підмножина S.
Можна довести, що замикання відношення R за властивістю Р, якщо воно існує, є перетином усіх відношень із властивістю Р, які містять R. За властивість Р можна розглядати рефлективність, симетричність, транзитивність. Отже, розглянемо рефлексивне замикання, симетричне замикання та транзитивне замикання відношення R.
Рефлексивне
замикання R
дорівнює R
,
={(a,a)|aєR}.
Відношення
множині А називають діагональним. Якщо
звернутись до орієнтованого графа,
асоційованого з відношенням R,
то рефлексивному замиканню відповідатиме
граф, який отримують з даного графа
додаванням петель у тих вершинах, де
їх немає.
Для отримання симетричного замикання відношення R потрібно додати всі такі пари (b,a), що (b,a)не належить R, але (a,b)єR. Отже, симетричне замикання відношення R дорівнює R R-1. Де R-1={(b,a)|(a,b)єR}. Це можна сформулювати й у термінах графа, асоційованого з відношенням R: якщо є дуга (a,b), але немає (b,a), то додати таку дугу.