13. Задача про мінімальний каркас. Алгоритм Краскала.

Алгоритм Краскала:

Нехай G – зв’язний зважений граф з n вершинами.

1. Вибрати ребро e₁, яке має в G найменшу вагу.

2. Індуктивно визначити послідовність ребер e₂,e₃,…,e_n-1; на кожному кроці вибирати ребро (відмінне від попередніх) з найменшою вагою і таке, що не утворює простих циклів з попередньо вибраними ребрами. Отримане дерево Т з множиною ребер ЕТ={e₁, e₂,e₃,…,e_n-1} є мінімальним каркасом графа G.

Розглянемо одну із можливих реалізацій алгоритму Краскала.

Початок. Упорядкувати множину ребер за зростанням ваг: e₁, e₂,e₃,…,e_m. Виконати розбиття множини вершин: ρ₁={{v₁}, {v₂},…, {v_n}}.

Ітерація. Вибрати таке чергове ребро із упорядкованої послідовності ребер, що його кінці містяться в різних множинах розбиття (це забезпечує відсутність простих циклів). Якщо вибране ребро е_і={v,w}, то множини, що містять вершини v та w, об’єднати в одну множину.

Закінчення. Роботу закінчити, коли буде вибране (n-1) ребро, при цьому всі підмножини розбиття об’єднаються в одну.

14. Відношення. Означення відношення із однієї множини в іншу, n-арні відношення. Означення відношення на множині. Бінарні відношення. Властивості відношень. Способи задання бінарних відношень.

Відношенням (n-місним відношенням) в теорії множин називається підмножина декартового степеня Mⁿ деякої множини M. Кажуть також, що елементи a₁,a₂,...,a_n∈M знаходяться у відношенні R, якщо кортеж (a₁,a₂,...,a_n)∈R.

Бінарне відношення з А в В – це деяка підмножина декартового добутку АхВ цих множин. Бінарні відношення описують зв’язки між елементами двох множин. Зв’язки між елементами більше, ніж 2 множин задають n-арними відношеннями. Здебільшого розглядають бінарні відношення за умови А=В. Відношенням на множині А називають бінарне відношення з А в А. Задати бінарне відношення на множині А можна за допомогою мулевої матриці або орієнтованого графа. Матриця, яка задає відношення R на n-елементній множині А, - це nxn матриця. М_R=[m_ij], i,j = 1,…,n, де

1, якщо (а_і, a_j)єR

m_ij=

0, якщо (а_і, a_j)не належить R

Граф G_R, який задає відношення R на множині А, будують так. Вершини графа позначають елементами цієї множини, а дуга (а_і, a_j) існує тоді і лише тоді, коли (а_і, a_j)єR. Такий граф G_R називають графом, асоційованим із відношенням R, або просто графом відношення R.

Властивості відношень на множині А:

Відношення R на множині А називають рефлексивним, якщо для будь-якого аєА виконується (а, a)єR. Відношення R на множині А називають симетричним, якщо для будь-яких a,bєA виконується умова: з того, що (a,b) єR випливає, що (b,a) єR. Відношення R на множині А називають антисиметричним, якщо для всіх a,bєA виконується умова: з того, що (a,b) єR та (b,a) єR випливає, що a=b. Відношення називають транзитивним, тоді і тільки тоді, що якщо пари (a,b) та (b,c) належать цим відношенням, то й пара (a,c) теж їм належить.