3. Властивості повного m-арного дерева. Рівень вершини і висота кореневого дерева. Збалансоване дерево.

Т-ма. Повне m-арне дерево з і внутрішніми вершинами містить n=m*i+1вершин.

Д-ня. Кожна вершина, за винятком кореня, є сином внутрішньої вершини. Оскільки кожна з і внутрішніх вершин має m синів, то всього є, якщо не враховувати корінь, m*i вершин. Враховуючи ще корінь, одержимо, що всього вершин n=m*i+1.

Рівнем вершини v у кореневому дереві називають довжину простого шляху від кореня до цієї вершини. Висотою кореневого дерева називають максимальний з рівнів його вершин. Завершеним m-арним деревом називають таке повне m-арне дерево, у якого все листя має 1 рівень.

Т-ма. Нехай m-арне дерево має висоту h. Тоді воно має не більше, ніж m^k листків.

Д-ня. (Мат. Індукція по h). У разі h=1 твердження очевидне. Припустимо, що твердження є правильним для всіх m-арих дерев з висотою меншою, ніж h. Нехай Т – m-арне дерево з висотою h. Листки дерева Т – це листки піддерев, які отримують з Т вилученням ребер, що з’єднують корінь дерева Т з кожною вершиною рівня 1. Кожне з цих дерев має висоту не більшу ніж h-1. За індуктивною гіпотезою кожне з цих дерев має не більше, ніж m^h-1 листків. Оскільки таких піддерев є не більше ніж m, то загальна к-сть листків у дереві Т не перевищує m*m^h-1=m^h.

Збалансоване дерево – це такий різновид бінарного дерева пошуку, яке автоматично підтримує свою висоту, тобто к-сть рівнів вершин під коренем, мінімальною.

4. Обхід бінарних дерев (три способи).

Існує 3 принципи впорядкування вершин, які природно випливають із структури дерева. Як і саму деревовидну структуру, їх зручно описати за допомогою рекурсії.

Обхід бінарного дерева передбачає відвідування усіх вершин бінарного дерева, при цьому кожна з вершин відвідується тільки один раз.

Існують три види таких обходів, кожний з яких визначається рекурсивно:

• прямий порядок (англ. preorder) наступної послідовності:

  1. відвідати корінь

  2. відвідати ліве піддерево

  3. відвідати праве піддерево

Тобто, в такому порядку обходу кожна вершина відвідується до того, як будуть відвідані її діти.

• зворотний порядок (англ. postorder) наступної послідовності:

  1. відвідати ліве піддерево

  2. відвідати праве піддерево

  3. відвідати корінь

Тобто, в такому порядку кожна вершина відвідується лише після того, як будуть відвідані її діти.

• Внутрішній порядок (англ. inorder) наступної послідовності:

  1. відвідати ліве піддерево

  2. відвідати корінь

  3. відвідати праве піддерево

В такому порядку кожна вершина відвідується між відвіданням лівої та правої дитини. Такий порядок особливо часто застосовується в бінарних деревах пошуку, тому що дає можливість обходу вершин у порядку збільшення їхніх порядкових номерів.

Для цього бінарного дерева,

• Прямий порядок: 2, 7, 2, 6, 5, 11, 5, 9, 4

• Зворотній порядок: 2, 5, 11, 6, 7, 4, 9, 5, 2

• Центрований (центральний) порядок: 2, 7, 5, 6, 11, 2, 5, 4, 9