35. Клас l. Лема про нелінійну функцію.

Булеву функцію f(xⁿ)=f(x₁,…,x_n) називають лінійною, якщо її поліном Жегалкіна має вигляд f(xⁿ)=C₀+С₁х₁+С₂х₂+….+С_nx_n.

Це поліном першого степеня, або лінійний поліном. Він не має багатомісних кон’юнкцій. Коефіцієнти лінійного полінома утворюють довільний набір значень із n+1 одиниць та нулів.

Т. Клас L лінійних функцій замкнений.

Лінійні: 0, 1, х, х у, ˥х

Нелінійні: x->y, x v y

Н. Повна система булевих функцій повинна мати хоча б одну нелінійну функцію.

Л. Якщо функція f(xⁿ) нелінійна, то кон`юнкцію двох змінних можна подати як суперпозицію констант 0,1 та функцій ˥Х і f(xⁿ).

Д. Нехай функція f не належить L. Тоді поліном Жегалкіна функції f містить кон`юнкції змінних. Виберемо серед них кон`юнкцію з найменшим рангом r≥2, нехай це буде k=x_i1x_i2…x_ir r≥2.

Надамо значення x_i3=….=x_i1=1, а всім змінним x_j які не входять у кон. k, надамо значення x_j=0. Підстановка цих констант у поліном перетворить кон. k на x_i1, x_i2, а решту кон. – на 0. При цьому функція f набере вигляду ϕ(x_i1,x_i2)=x_i1x_i2+αx­_i1+βx_i2 +γ, де α,β,γ – коефіцієнти, що дорівнюють 0 чи 1залежно від конкретної функції f(xⁿ).

36. Теорема Поста.

Для того, щоб система булевих функцій Q була функціонально повною, необхідно і достатньо, щоб вона містила 1) функцію, яка не зберігає 0; 2) функцію, яка не зберігає 1; 3) несамодвоїсту функцію; 4) немонотонну функцію; 5) нелінійну функцію. Інакше кажучи, для повноти системи Q необхідно і достатньо, щоб для кожного з п`яти замкнених класів T­₀,T₁,S,M,L вона містила функцію, яка цьому класу не належить.

Д. Необхідність випливає з того, що класи T₀,T₁,S,M,L замкнені.

Достатність. Уведемо для функцій із системи Q такі позначення:

f_i – функція, що не зберігає 0

f_j – функція, що не зберігає 1

f_k – несамодвоїста функція

f_m – немонотонна функція

f_l – нелінійна функція.

Перший етап: Одержимо константи 0 і 1. Розглянемо функцію f_i (не зберігає 0): f_i (0..0) = 1. Можливі два випадки:

1. f_i(1…1)= 1, тоді функція ϕ(x)=f(x,…,x) тотожно дорівнює 1, бо ϕ(0)=f_i(0…0)=1, ϕ(1)=f_i(1….1)=1. Із функції f у цьому разі можна отримати константу 0, оскільки f_i(ϕ(x)…..ϕ(x))=f_i(1….1)=0.

2. f_i(1…1)=0, тоді функція ϕ(x)=f_i(x,….,x) – заперечення: ϕ(x)= ˥x, бо ϕ(0)=f_i(0…0)=1, ϕ(1)=f_i(1..1)=0. Із несамодвоїстої функції f_k та побудованої функції ˥х за лемою про несамодвоїсту функцію одержимо константу. Другу константу отримаємо, використавши ˥х, оскільки ˥0=1, ˥1=0.

Отже в обох випадках ми одержали константи 0 і 1.

Другий етап: Використовуючи константи 0 і 1 та немонотонну функцію f_m , за лемою про немонотонну функцію одержимо˥х. Потім за допомогою констант 0,1 функцій ˥х і f_i не належить L за лемою про нелінійну функцію отримаємо кон. двох змінних ху. Отже, через функції системи Q ми виразили ˥х та ху. Позаяк система {˥x,xy} повна, то система Q також повна.

Щоб перевірити, чи виконуються для скінченної системи функцій {f₁….f_q} умови теореми Поста, складають таблицю Поста. ЇЇ рядки позначають функціями системи, а стовпці – назвами 5 основних замкнених класів. У клітках таблиці Поста ставлять знак «+» або «-» залежно від того, чи належить функція відповідному замкненому класу. Для повноти системи функцій необхідно і достатньо, щоб у кожному стовпці таблиці Поста стояв хоча б один знак «-».