28. Кон'юктивні нормальні форми.

Елементарною диз. називають вираз …….. , у якому всі x_ij різні x_ij є X. Число r називають рангом диз. Якщо r=0, диз. називають порожньою та вважають такою, що дорівнює 0.

Кон. нормальною формою називають кон. d₁^d₂^…^d_s елементарних диз. d_j­, у якій всі d_i різні.

Є алгоритм, який дає змогу для будь-якої формули булевої алгебри знайти тотожну до неї КНФ. На першому його етапі формулу перетворюють у рівносильну, побудовану зі змінних та їх заперечень за допомогою самих лише диз. та кон. Для цього використовують закони де Моргана та закон подвійного заперечення. На другому етапі домагаються, щоб усі диз. виконувались раніше кон. Для цього потрібно скористатися дистрибутивним законом XvYZ=(XvY)(XvZ) або наслідком із нього XYvZU=(XvY)(XvU)(YvZ)(YvU). Потім на підставі співвідношень для констант і закону виключеного третього вилучають одиниці та на підставі законів ідемпотентності об`єднують рівні члени.

Елементарну диз`юнкцію, яка містить усі змінні з множини Х, називають конституентою нуля. Інакше кажучи, конституента нуля – це елементарна диз. з рангом n.

Досконалою КНФ називають КНФ, у якої кожна елементарна диз. d_j­ (j=1,….,s) – конституента нуля.

ДКНФ за таблицею булевої функції f будують так: виділяють набори, на яких функція набуває значення 0, і для кожного з них записують відповідну конституенту нуля. Кон`юнкція цих конституент нуля являє собою ДКНФ функції f.

29. Поліном Жегалкіна

Елементарну кон. називають монотонною, якщо вона не містить заперечень змінних. Наприклад: X₁X₂X₃,X₁,1 – монотонні кон. Формулу P(xⁿ)=K₁+K₂+….+K_s, де K₁+K₂+….+K_s - попарно різні монотонні кон. змінних із множини X={x₁,x₂,…,x_n}, називають поліномом Жегалкіна. Найбільший із рангів елементарних кон., що входять в поліном, називають степенем полінома. За окремим означенням 0 також уважатимемо поліномом Жегалкіна.

Т. Будь-яку булеву функцію можна єдиним способом подати поліномом Жегалкіна.

Методи побудови поліному Жегалкіна:

Метод невизначених коефіцієнтів: Для ф-ії f(x₁,…,x_n) записують найбільш загальний вигляд полінома Жегалкіна P(x₁,…,x_n) з невизначеними коефіцієнтами (їх 2ⁿ). Зокрема, поліном від двох змінних має загальний вигляд:

P(x,y)=C₀+C₁x+C₂y+C₃xy

Для кожного двійкового набору (a_1­,…,a_n) значень змінних записують рівняння f(a₁,…,­­a­_n)=P(a₁,….,a­_n). Таких рівнянь буде 2ⁿ, розв`язавши їх, отримують коефіцієнти полінома P(x­₁,….x_n).

Побудова полінома Жегалкіна на основі рівносильних перетворень: Один із способів побудови полінома Жегалкіна полягає в наступному. Спочатку будують рівносильну формулу, у якій є лише операції кон. та запаречення, а потім замінюють всюди (не)Х на 1+х. Після цього тривіальними перетвореннями отримують поліном Жегалкіна.

Т.Усі змінні булевої функції, які входять у її поліном Жегалкіна, істотні.

30. Алгебри булевих функцій

Множину P₂ всіх булевих функцій разом з уведеною на ній системою операцій називають алгеброю булевих функцій. Алгебру (P₂; ˥, v,^) з операціями заперечення, кон. та диз. називають алгеброю Буля. Формули цієї алгебри будують зі знаків операцій, круглих дужок, букв x,y,z…і констант 0 та 1. Букви позначають довільні булеві функції, при цьому булеві змінні розглядають як окремий випадок булевих функцій. Знак кон. ^ у формулах зазвичай не пишуть. Якщо немає дужок, пріоритет операцій у булевій алгебрі такий: заперечення, кон., диз. . У булевій алгебрі як дужки в разі заперечення виразів використовують сам символ заперечення.

Закони алгебри Буля:

• Асоціативності (XY)Z=X(YZ)=XYZ, (XvY)vZ=Xv(YvZ)=XvYvZ;

• Комутативності XY=YX, XvY=YvX;

• Дистрибутивності (XvY)Z=XZvYZ, XYvZ=(XvZ)(YvZ);

• Подвійного заперечення (˥˥ X)=X;

• Де Моргана ˥(XY)= ˥Xv˥Y, ˥(XvY)= ˥X ˥Y;

• Ідемпотентності XX=X, XvX=X;

• Поглинання XvXY=X, X(Xvy)=X;

• Співвіднош. для констант ˥ 1=0, ˥0 =1, 1X=X, 0X=0, 1vX=1, 0vX=X;

• Виключення третього Xv˥X=1;

• Протиріччя X˥X=0;