26. Булеві функції. Означення, задання таблицями і формулами, істотні і неістотні змінні.
Булевою
називають функцію f(x1,…,xn),
область значень якої складається з 0
та 1, яка залежить від змінних x1,…,xn,
що приймають також лише ці 2 значення.
Множину всіх булевих функцій позначають
Р2.
Булеві функції широко застосовують у
математичній і технічній кібернетиці,
зокрема, для конструювання мікропроцесорів.
Булеву функцію від n
змінний називають n-місною.
Областю її визначення є множина
усіх можливих n-місних
наборів значень змінних. Ці набори
називають двійковими наборами, або
просто наборами. Отже, область визначення
n-місної
булевої функції є скінченною і складається
з 2n
наборів значень змінних. Для набору
(а1,…,аn)
використовують позначення аn
або а.
Т-ма.
К-сть р2(n)
всіх функцій з Р2,
які залежать від n
змінних x1,…,xn,
дорівнює
Множину наборів значень змінних, на яких булева функція f(x1,…,xn) приймає значення 1, позначають Nf:
Nf={an|anє
,
f(an)=1}.
Множина
Nf,
очевидно повністю визначає функцію f.
Змінну хі функції f(x1,…,xi-1,xi,xi+1,…,xn) називають істотною, якщо існує такий набір (а1,…,аi-1,аi+1,…,аn) значень решти змінних, що f(а1,…,аi-1,0,аi+1,…,аn)≠ f(а1,…,аi-1,1,аi+1,…,аn).
Змінну, яка істотною не є, називають неістотною, або фіктивною. Отже, змінна хі функції f(x1,…,xi-1,xi,xi+1,…,xn) неістотна (фіктивна), якщо f(x1,…,xi-1,0,xi+1,…,xn)= f(x1,…,xi-1,1,xi+1,…,xn).
Визначення елементарних функції за допомогою таблиці:
х1 х2 |
х1х2 |
х1vх2 |
х1 |
х1 |
х1+х2 |
х1|х2 |
х1 |
0 0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
х2
х2
х2За допомогою елементарних функцій можна зобразити будь-яку булеву функцію у вигляді формули. Для булевих функції можливі будь-які підстановки одних функцій замість змінних в інші функції, можливі буль-які перейменування змінних.
27. Диз’юктивні нормальні форми.
Елементарною кон`юнкцією називають вираз ……….. , де хіj – змінні з множини Х, причому всі хіj різні. Число r називають рангом кон`юнкції. Якщо r=0, кон`юнкцію називають порожньою та вважають такою, що дорівнює 1.
Елементарну кон., яка містить усі змінні з множини Х, називають конституентою одиниці. Інакше кажучи, конституента одиниці – це елементарна кон. з рангом n.
Диз`юктивною нормальною формою називають диз. D=k1 v k2 v..v ks елементарних кон. kj, у якій kj попарно різні.
Є алгоритм, який дає змогу для будь-якої формули булевої алгебри на основі тотожних перетворень знайти рівносильну до неї ДНФ. На першому його етапі формулу перетворюють у рівносильну, побудовану зі змінних та їх заперечень за допомогою самих лише диз. та кон. Для цього використовують закони де Моргана та закон подвійного заперечення. На другому етапі домагаються, щоб усі кон. виконувались раніше, ніж диз., для чого розкривають дужки на підставі дистрибутивного закону для кон. (XvY)Z=XZvYZ або тотожності (XvY)(ZvU)=XZvYZvXUvYU. Далі з використанням співвідношень для констант і закону суперечності вилучають нулі та, виходячи із законів ідемпотентності, об`єднують рівні члени. На цьому процес отримання ДНФ закінчують.
Досконалою ДНФ називають ДНФ, у якої кожна елементарна кон. kj(j=1,..,s) – конституента одиниці.
Т. Будь-яку булеву функцію f(x1,..,xn)≠0 можна єдиним способом подати в ДДНФ.
Для функції, заданої таблицею, ДДНФ будують так: для кожного набору, на якому функція приймає значення 1, знаходять відповідну йому конституенту одиниці; диз. Всіх цих конституент – це ДДНФ даної функції.