Лабораторная работа № 7 определение момента инерции физического маятника
Цель работы: экспериментальное определение момента инерции длинного стержня.
Приборы и принадлежности: длинный стержень, секундомер, линейка с миллиметровыми делениями, зажим с полкой.
Введение
В физике колебательным (или периодическим) называется процесс, который обладает той или иной степенью повторяемости во времени.
Одной из основных характеристик колебательного процесса является период колебаний. Периодом колебаний T называется время, за которое совершается одно полное колебание.
Величину обратную периоду колебаний, называют частотой колебаний и обозначают буквой n.
По определению
(1)
Из формулы (1) следует, что частота определяет число полных колебаний за единицу времени. Единицей измерения частоты является герц (Гц). Герц - частота колебаний, период которых равен одной секунде, т.е.
1 Гц =
Среди множества существующих видов колебательных процессов простейшими являются гармонические колебания.
Гармоническим колебанием называется периодический процесс, при котором колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса и косинуса. Например, в случае одномерного гармонического колебания значение колеблющейся величины во времени изменяется по закону синуса и косинуса. Например, в случае одномерного гармонического колебания значение колеблющейся величины во времени изменяются по закону
(2)
График одномерного гармонического колебательного движения, описываемого функцией, представлен на рис. 1.
Рассмотрим смысл величин, входящих в формулу (2):
х - величина отклонения значения колеблющейся величины в момент времени t от ее значения при равновесии системы/
A - амплитуда колебания представляет собой абсолютную величину максимального значения х.
Поскольку косинус имеет пределы изменения , значение колеблющейся величины х в выражении (2) может соответственно меняться в пределах .
Величина аргумента косинуса называется фазой колебания и, являясь функцией времени, определяет значение величины х в данный момент времени t.
Параметр a в формуле (2) называется начальной фазой колебания, которая характеризует значение колеблющейся величины хо в начальный момент времени, т.е.
где - значение колеблющейся величины при t=0.
Величина w называется циклической (круговой) частотой колебаний.
Поскольку одному колебанию при a=0 соответствует изменение аргумента косинуса на величину , можно записать
(3)
Таким образом, циклическая частота численно равна числу полных колебаний, совершаемых за время, равное секунд.
Циклическая частота измеряется в радианах за секунду (рад/сек).
Механические гармонические колебания
До сих пор мы рассматривали процесс колебаний в его общем виде. Перейдем к конкретному случаю.
Какова должна быть сила, действующая на материальную точку массой m, для того чтобы эта точка совершала гармонические колебания?
Поскольку гармоническое колебательное движение в нашем случае является одним из видов механического движения, для него справедлив основной закон динамики - второй закон Ньютона.
(4)
где a - ускорение, которым обладает движущаяся материальная точка под действием результирующей всех сил, действующих на эту точку.
Найдем выражение скорости и ускорения при гармоническом колебательном движении.
Для этого вспомним, что мгновенное значение скорости представляет собой первую производную от пути (смещения) по времени
(5)
а мгновенное значение ускорения - первую производную от скорости по времени:
(6)
Продифференцировав выражение (2), получим скорость
(7)
Амплитуда скорости при гармоническом колебании равна произведению амплитуды А смещения на циклическую частоту
Продифференцировав выражение (7), получим
(8)
Перепишем выражение для ускорения при гармоническом колебательном движении (с учетом (2)):
(9)
Тогда на равенства (4) и (9) получим выражение, определяющее величину силы, вызывающей гармонические колебания:
(10)
Из формулы (10) видно, что для того, чтобы материальная точка совершила гармоническое колебательное движение, действующая на нее сила должна быть прямо пропорциональна величине ее смещения х и направлена в сторону, противоположную этому смещению.
Так как в формуле (10) величины m и w являются постоянными, их произведение можно представить в виде постоянного коэффициента к:
(11)
а силу, вызывающую гармоническое колебание (10) можно записать
(12)
где к - жесткость или коэффициент упругости, который численно равен силе, вызывающей смещение материальной точней на единицу длины.
Сила, определяемая соотношением (12) прямо пропорциональна величине х смещения частицы из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную направлению смещения (на что указывает знак минус), называется квазиупругой силой. Квазиупругая сила является силой возвращающей.
В случае, когда на колеблющуюся систему не действуют внешние переменные силы и силы трения, ее собственные колебания называются свободными незатухающими гармоническими колебаниями.
Они характеризуются постоянной амплитудой и могут продолжаться сколь угодно долго.
Уравнение, описывающее свободные незатухающие колебания легко получить из (4), представив ускорение как
и зная, что гармонические колебания вызываются действием квазиупругих сил (12)
(13)
Перенеся все члены уравнения (13) в одну сторону, разделив их на m и используя формулу (11), получим
(14)
Примечание: В физике принято обозначать циклическую частоту незатухающих колебаний w0, а циклическую частоту затухающих колебаний w.
Тогда, согласно (12)
(15)
а период свободных незатухающих гармонических колебаний с учетом (3)
(16)
Решение уравнения (14), определяющее смещение при свободных незатухающих колебаниях, будет иметь вид (4) (с учетом w=w0).
График соответствующего движения показан на рис.1.