Билет №10

1.F(x)><0 F(x)-многочлен любой степени.Методинтервалов:свойство1:Если при решении неравенства F(x)><0 многочлен F(x) может быть представлен в виде(x-x₁) (x-x₂)… (x-x_n) где x-переменная а x₁,x₂,…x_n – некоторые числа(корни многочлена не равные друг другу), то можно пользоваться методом интервалов. Свойство 2:в каждом из промежутков ограниченными корнями многочлена данный многочлен сохраняет свой знак, а при пережоде через корень знак меняется. 1)Представит многочлен в виде (x-x₁) (x-x₂)… (x-x_n) где x-переменная а x₁,x₂,…x_n – некоторые числа(корни многочлена) любым методом 2) Найти корни многочлена на числовой оси 3)Найти знаки промежутков используя предыдущее свойство 4)Записать ответ IIсвойство)Если многочлен представлен в виде (x-x₁)^к1 (x-x₂)^к2… (x-x_n)^кn где х- переменная ,а x₁,x₂,…x_n –различные корни многочлена, а К₁, К_2… К_n- различные натуральные числа, то при переходе через корень четной степени знак не меняется, а при переходе через корень нечетной степени знак меняется на противоположный.

2. 1)ООФ - те значения аргумента при которых функция имеет смысл 2)МЗФ— множество значений, которые может принимать функция 3)Корни -те значения аргумента при которых функция равна 0 4)Промежутки знакопостоянства -  это те значения аргумента при которых функция не меняет знак( Непрерывная функция – функция график которой можно начертить не отрывая руки) 5)Монотонность: Если функция или возрастает или убывает то функция монотонная. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. 6)Четность: Функция называется четной, если выполняется два условия:

1.ООФ симметрична относительно начала отсчета 2.Для любого значения аргумента из области определения выполняется условие ∫(-х)= ∫(х)

Функция называется не четной, если выполняется два условия:

1.ООФ симметрична относительно начала отсчета

2.для любого значения аргумента из области определения выполняется условие ∫(-х)= - ∫(х) (Если не выполнено хотя бы одно условие то функция относится к функциям общего вида). 7)График - множество точек координатной плоскости, где абсцисса соответствует значению аргумента функции, а ордината соответствует значению самой функции. Способы построения: по точкам; с помощью использования параллельного переноса и симметрии.

Билет №11

1.Этапы метода интервалов:1)Перенести слагаемые в одну часть и разложить на множители 2)добиться равносильными преобразованиями знака + перед старшим коэффициентом в каждой скобке 3) отбросить скобки, которые не меняют свой знак и не обращаются в 0. Одинаковые скобки не сокращать ,так как можем изменить область определения 4)Отметить на оси все точки, в которых хотя бы одна из скобок обращается в 0.Например, 5)Выколоть нули знаменателя . Например, 6)Если неравенство строгое то выколоть все нули числителя. Если неравенство строгое, то жирно обводим все нули числителя. Например, 7)Построить волну, начиная со знака +. Помним что (x-a)²ⁿ знака не меняет 8)Записать ответ не забывая про изолированные решения нестрогих неравенств.

2. Арифметический квадратный корень из числа a называют не отрицательное число b квадрат которого равен a( - радикал) = b ↔ b≥0 b²=a ООВ(область определения выражения ) т.к. b²=a b²≥0 a≥0 a- подкоренное выражение Основные тождества квадратного корня :1) )²=a a≥0 2)√a² =|a| Свойства квадратного корня : I) Квадратный корень из произведения двух не отрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел. Доказательство: Докажем по определению квадратного корня т. е. докажем что ∙ ≥0 ( ∙ )²=ab 1)Докажем ∙ >0 т.к. a≥0, b≥0 то выражения , имеют смысл и по определению ≥0 и следовательно ∙ ≥0 2)Докажем по свойству степени ( ∙ )²=( )²∙( )²=ab II)Арифметический корень из частного , где делимое не отрицательное число, а делитель положительное, равен частному корня из делимого накорень из делителя. Доказательство:1) Докажем по определению квадратного корня т. е. докажем что:1) >0 2) ( )²= 1)Т. к. a≥0, b≥0 то выражения , имеют смысл следовательно ≥0 2) ( )²= по свойству степени ( )²= = Доказано! Для того чтобы освободится от иррациональности надо и числитель и знаменатель домножить на сопряженную величину.

Сложный радикал- выражение вида называют двойным или сложным радикалом 1)выделение полного квадрата 2)метод неопределенных коэффициентов Билет №12

1 .|F(x)|<a F(x)<a .|F(x)|>a F(x)>a F(x)-линейный многочлен a-число

F(x)>-a F(x)<-a

a>0 есть решения есть решения

a=0 F(x)≤a F(x)=0 F(x)=0 x- любое

a<0 нет решений x- любое

|F(x)|≤ Q(x) |F(x)|≥ Q(x)

Q (x)≥0 Q(x)≤0

F(x)≤Q(x) Q(x)≥0

F (x)≥ -Q(x) F(x) ≥Q(x)

F(x)≤-Q(x)

2.смотри билет №10 вопрос 2

Билет №13

1. –(не надо)

2. Сначала строим график у=f(х) , затем симметрично переносим часть графика оказавшегося в IIIи IVк. у. вверх. Получаем график функции у=|f(х)|.

Для того чтобы построить график функции y=∫(|x|) из графика у=∫(х) надо:

1)построить график функции у=∫(х) 2) часть графика оказавшегося в IIи III к. у. исчезает

Билет №14 ≥

1. Для того чтобы построить график функции y=f(x)+a надо: 1)построить функцию y=f(x) 2)сдвинуть по оси ОУ на |a| единиц если a>0 то ↑ если a<0 то ↓.

Построение графика y=f(x+l) из графика y=f(x) надо: 1)построить график y=f(x) 2)сдвигаем по оси ОХ на |l| единиц l>0 ← l<0→

Для того чтобы построить график функции y=bf(x) где b≠0 из графика y=f(x) надо:

Для того чтобы построить график функции y=f(x∙b) где b≠0 из графика y=f(x) надо:

2 .Решение уравнений с модулем: 1.|P(x)|=a ,где а- некоторое число 1)a<0 нет корней 2) a=0 |P(x)|=a P(x)=0 3) a>0 |P(x)|=a P(x)=a P(x)=-a P(x)=-a

2 . |P(x)|=D(x), где P(x) и D(x) многочлены |P(x)|=D(x) ↔ D(x)≥0 P(x)=D(x) P(x)=D(x) D(x)≥0 P(x)=-D(x)

3 .|P(x)|=|D(x)| ↔ P(x)=D(x) P(x)=-D(x)

Билет №15

1. Рациональное уравнение- уравнение вида F(x) = Q(x) называется рациональным, при F(x) и Q(x) -рациональные выражения. При этом если F(x) и Q(x) - целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений F(x), Q(x) является дробным, то рациональное уравнение F(x) = Q(x) называется дробно рациональным.

Решение рациональных уравнений: 1) методом введения новой переменной Например: ]  ↔ Ответ: -6; -2; -4

2.Задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена: 1) Найти параметр a-? если корни квадратного трехчлена принадлежат промежутку (k; m)

2)Найти значение параметра a-? При которых корни квадратного трехчлена меньше некоторого числа(k)

3) Найти значение параметра a-? При которых корни квадратного трехчлена больше некоторого числа(k)

Билет №16

1.смотрибилет №17 вопрос 1

2.смотри билет №14 вопрос 2

Билет №17

1. y= – обратная функция

K<0

1)ООФ - те значения аргумента при которых функция имеет смысл D(y)= (-∞;0) U (0;+∞) т. к. знаменатель не равен 0

2)МЗФ— множество значений, которые может принимать функция E(y)= (-∞;0) U (0;+∞) т. к.

k<0

3)Корни: =0 т. k≠0 то корней нет График не пересекает ос абсцис

4) Промежутки знакопостоянства-  это те значения аргумента при которых функция не меняет знак( Непрерывная функция – функция график которой можно начертить не отрывая руки)

У>0 >0 х (-∞;0) т. к. k<0

У>0 на промежутке (-∞;0) график попадает в II к.у.

У<0 <0 х (0;+∞) т. к. k<0

У<0 на промежутке (0;+∞) график попадает в IV к.у.

График имеет две различные ветки т. к. с осью абсцисс не пересекается

5)Монотонность: Если функция или возрастает или убывает то функция монотонная. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

[ x₁,x₂ €D(y)= (-∞;0)x₁ > x₂

y(x₁) –y(x₂)= - = >0 т.к. k<0 и x₁ > x₂ Значит y(x₁)> y(x₂)

[ x₁,x₂ €D(y)= (0;+∞) x₁ > x₂

y(x₁) –y(x₂)= - = >0 т.к. k<0 и x₁ > x₂ Значит y(x₁)> y(x₂)

Следовательно функция монотонно возрастает

6)Четность: Функция называется четной, если выполняется два условия:

1.ООФ симметрична относительно начала отсчета

2.Для любого значения аргумента из области определения выполняется условие ∫(-х)= ∫(х)

Функция называется не четной, если выполняется два условия:

1.ООФ симметрична относительно начала отсчета

2.для любого значения аргумента из области определения выполняется условие ∫(-х)= -∫(х) (Если не выполнено хотя бы одно условие то функция относится к функциям общего вида).

1.ООФ: D(у)= (-∞;0) U (0;+∞) симметрична относительно начала отсчета

2.у(-х)= =у(х)≠- у(х) т. к. k<0 следовательно функция четная

График симметричен относительно начала отсчета

7)График-множество точек координатной плоскости, где абсцисса соответствует значению аргумента функции, а ордината соответствует значению самой функции. Значит строим только одну часть графика от (0;+∞), а вторую часть строим зеркально. Графиком этой функции является гипербола.

2.Задачи связанные с расположением корней квадратного трехчлена

Корни одного знака(+;+)или(-;-)

1)Корни положительны 2)Корни отрицательны

x ₁+x₂>0 x₀>0 x ₁+x₂Б0 x₀>0

x₁∙x₂>0 y(0)>0 x₁∙x₂>0 y(0)>0

D≥0 D≥0

3)Корни разных знаков

x ₁∙ x₂<0 y(0)<0

D≥0

4)Корни, удовлетворяющие условию x₁<A<x₂