Билет №7

1. ax²+bx+c=0|:a a≠0 x²+ + =0 x² +2x∙ + - + =0

(X+ )²- =0 D=b²-4ac (X+ )²- =0 (X+ - ) (X+ + )=0

(X+ ) (X- )=0

2. y=x² - частный случай полной квадратичной функции. Квадратичная функция – функция вида , где a, b и c –числа , причем a≠0

1)ООФ - те значения аргумента при которых функция имеет смысл D(y)=(-∞;+∞)

2)МЗФ— множество значений, которые может принимать функция E(y)=(0; +∞) т. к. квадрат всегда ≥0

3)Корни: x²=0 х=0 точка пересечения графика с осью абсциссы

4) Промежутки знакопостоянства-  это те значения аргумента при которых функция не меняет знак( Непрерывная функция – функция график которой можно начертить не отрывая руки)

у>0 x²>0 х (-∞;0) U (0;+∞)

у>0 на промежутке (-∞;0) U (0;+∞) график попадает в I и II координатный угол

5)Монотонность: Если функция или возрастает или убывает то функция монотонная. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

[ x₁,x₂ €D(y)= (-∞;0)x₁ > x₂

y(x₁) –y(x₂)=x₁²-x₂²=(x₁-x₂)( x₁+x₂)<0 Значит y(x)↓

[ x₁,x₂ €D(y)= (0;+∞) x₁ > x₂

y(x₁) –y(x₂)=x₁²-x₂²=(x₁-x₂)( x₁+x₂)>0 Значит y(x)↑

Следовательно, функция не монотонная

6)Четность: Функция называется четной, если выполняется два условия:

1.ООФ симметрична относительно начала отсчета

2.Для любого значения аргумента из области определения выполняется условие ∫(-х)= ∫(х)

Функция называется не четной, если выполняется два условия:

1.ООФ симметрична относительно начала отсчета

2.для любого значения аргумента из области определения выполняется условие ∫(-х)= -∫(х) (Если не выполнено хотя бы одно условие то функция относится к функциям общего вида).

1.ООФ: D(у)= (-∞;+∞) симметрична

2.у(-х)=х²=у(х)≠- у(х) следовательно функция четная

7)График-множество точек координатной плоскости, где абсцисса соответствует значению аргумента функции, а ордината соответствует значению самой функции. Способы построения: по точкам; с помощью использования параллельного переноса и симметрии. Графиком является парабола.

Билет №8

1. Теорема Виета: Если х₁,х₂ корни квадратного уравнения ах²+bx+c=0 то сумма корней равна ,а произведение корней равно .

x ₁+x₂=

x₁∙x₂=

Доказательство: запишем формулу для корней x_1,2

x ₁+x₂= + = =−

x₁∙x₂= ∙ = = = =

Приведенное квадратное уравнение – уравнение вида x²+px+q=0

Теорема обратная теореме Виета: Если для чисел x₁,x₂ выполнено равенство

x ₁+x₂=-p

x₁∙x₂=q

т о эти числа корни приведенного квадратного уравнения. Доказательство: x²+px+q= x²-( x₁+x₂)x+ x₁∙x₂= x²- x₁∙x-x₂∙x+ x₁∙x₂=x(x-x₁)-x₂(x-x₁)=(x+x₂) (x-x₁) Следовательно x₁ x₂ являются корнями уравнения. Разложение квадратного трехчлена на множители: Квадратный трехчлен- это многочлен состоящий из 3-х слагаемых старшая степень которого квадрат 1)Теорема: если x₁ и x₂ корни квадратного уравнения ах²+bx+c=0 то справедливо тождество ах²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂) доказательство : 1) Применим теорему Виета т. к. x₁ и x₂ корни x₁+x₂=

x₁∙x₂=

2)Л.ч.= ах²+bx+c=a(x²+ ∙x+ )=a(x²+(x₁+x₂) ∙x+ x₁∙x₂)=a(x(x-x₁)-x₂(x-x₁))=a(x+x₂) (x-x₁)=П.ч.

2)Если квадратный трехчлен раскладывается на линейные множители то оно имеет корни. Дано: ах²+bx+c=(kx+z)(mx+d) т.е. мы должны доказать что есть числа являющиеся корнями. Доказательство: (kx+z)(mx+d) =k(x+ )∙m(x+ )=km(x+ ) (x+ ) km=a - =x₁ - = x₂ корни есть. 3)Если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители. Доказательство: Предположим что квадратный трехчлен разложен на линейные множители, значит, по предыдущей теореме квадратный трехчлен должен иметь корни, что противоречит условию теоремы. Значит, наше предположение не верно и подобный многочлен разложить на множители нельзя.

2.см билет №5 вопрос 4