Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Вычислительные процессы.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
15.09.2019
Размер:
1.1 Mб
Скачать

Знаки натуральных операций

Название операции

Знак

Название операции

Знак

 - генерация

h

замена буквы на α

аннигиляция

Δ

отключение

x

нахождение начала слова

*

линеаризация

l

продвижение вперед

делинеаризация

d

продвижение назад

условие непустоты

удлинение вперед

условие начала

н

отбрасывание конца

условие конца

к

Для построения грамматик языков L1 и L2 достаточно знания операции конкатенации. Таким образом, построенный нами класс первичных (натуральных) алгоритмов, использующих только натуральные операции, линеаризацию и делинеаризацию, определен математически вполне строго.

Широкое формальное определение алгоритма. Мы знаем уже, что класс первичных алгоритмов задан, если заданы два языка: L1 и L2, причем предложения первого из них объявлены записями алгоритмов, а предложения второго - записями операндов и, если задано правило выполнения первичных алгоритмов, применимое к парам: запись алгоритма, запись операнда.

Первый пункт общего определения алгоритма гласит:

1) Первичные алгоритмы - это алгоритмы.

Но общее понятие алгоритма существенно шире. Его второй пункт гласит:

2) Если заданы два языка L1 и L2, причем предложения первого объявлены записями алгоритмов, а предложения второго - записями операндов, и если задан некоторый алгоритм W, операндами которого являются конструкции, получаемые связыванием каждого предложения из L1 с n предложениями языка L2 при помощи вполне определенной связи ранга n+1, то задано семейство n-местных алгоритмов.

Наконец, третий пункт общего определения гласит:

3) n-местные алгоритмы - тоже алгоритмы.

Таким образом, каждый алгоритм в широком формальном смысле, если он не первичный, имеет свой алгоритм выполнения. Если бы не были определены первичные алгоритмы, то невозможно было бы дать строгое определение и остальных алгоритмов, так как невозможно было бы указать ни одного алгоритма выполнения. Но после того, как построен хотя бы один алгоритм выполнения, можно строить многие другие, уже не привлекая первичных алгоритмов.

Одноместным называется n-местный алгоритм, для которого n=1. Первичные алгоритмы тоже будем называть одноместными.

Алгоритм в широком формальном смысле называется применимым к данному конкретному операнду (набору операндов), если алгоритм его выполнения применим к соответствующей символьной конструкции, объединяющей записи алгоритма и операнда ( операндов ). В противном случае говорят, что алгоритм в широком формальном смысле неприменим а данному операнду (набору операндов).

Два алгоритма называются функционально эквивалентными, если их языки операндов совпадают между собой и если всегда для одного и того же исходного данного оба алгоритма либо дают один и тот же результат, либо оба к нему неприменимы.

Т е о р е м а. Для всякого семейства первичных алгоритмов (определяемого двумя языками L1 и L2 и правилом выполнения) существует алгоритм в широком формальном смысле, который эквивалентен правилу их выполнения и имеет запись, графически тождественную с записью этого правила.

Такой алгоритм естественно назвать алгоритмом выполнения для данного семейства первичных алгоритмов. Приведенная теорема, хотя и не позволяет при определении понятия алгоритма отказаться от определения первичных алгоритмов, все же "уравнивает в правах" первичные алгоритмы с непервичными.

Нередко возникает необходимость применять одни алгоритмы к записям других. Для того, чтобы иметь при этом возможность пользоваться формулами, применяемыми в других математических дисциплинах, нужно соблюдать специальные предосторожности. Обычно алгоритмы обозначают латинскими буквами; их записи обозначают теми же буквами с крышкой (черточкой) наверху; определяемые ими функции обозначают теми же буквами с волной наверху. Например, если g - алгоритм, то - его запись, а - порождаемая им функция (операция, отображение).

При соблюдении вышеуказанных предосторожностей можно следующим образом описать связь между алгоритмом, отвечающими ему языками и алгоритмом выполнения.

Пусть L2={ } - алгоритмический язык, L1={ } - язык операндов, z - связь (n+1)-ого ранга и W - алгоритм выполнения. Обозначим через конструкцию, получаемую путем связывания языка L2 и n предложений языка L1. Тогда равенство означает, что t является алгоритмом и что . При этом - запись искомого результата.

Для каждого семейства алгоритмов, определяемого некоторым алгоритмом выполнения W, множество L3={r} записей всех возможных искомых результатов является формальным языком. Таким образом, каждому семейству алгоритмов отвечает еще один формальный язык: язык искомых результатов. В частном случае он может быть подмножеством языка операндов.

Рассмотрим два семейства алгоритмов, у которых эквивалентны алгоритмы выполнения. Ясно, что эти семейства имеют одни и те же языки операндов, искомых результатов и алгоритмический. Возьмем два алгоритма, принадлежащих разным семействам, но имеющих одну и ту же запись. Такие алгоритмы эквивалентны, но при выполнении порождают неодинаковые процессы.

О п р е д е л е н и е. Два алгоритма, которые имеют одинаковые записи и эквивалентны, являются одним и тем же алгоритмом (или экземплярами одного и того же алгоритма).

Теперь нетрудно уточнить приведенное выше общее определение алгоритма (вернее, дополнить его).

Алгоритм - это совокупность записи алгоритма и отображения, индуцируемого его алгоритмом выполнения.