8. Приклади економічних задач стохастичного програмування

Приклад 1.Індивіди можуть тримати своє багатство у вигляді грошей та облігацій. Оскільки гроші — це актив, що використовується як засіб обігу, то вони не приносять прибутку у вигляді процентів. Облігації — це цінні папери, що дають їх власникові певний дохід. Логічно допустити, що індивідууми мають зберігати своє багатство у вигляді облігацій. Однак це не так, оскільки процентна ставка і ринкова вартість облігацій наперед точно не відомі , тобто існує невизначеність. Необхідно визначити оптимальний розподіл активу на гроші та облігації.

Розв’язання.

Нехай S — загальна величина активу, а х та y — величини активів, які зберігаються відповідно у формі грошей та облігацій. Вважаємо, що через рік активи, вкладені в облігації, змінюються. За решти однакових умов облігацію, яка приносить більший процент прибутку, на ринках цінних паперів можна продати за більшу суму, ніж облігацію з меншим процентом. Позначимо через ξ та η величини активів, які реалізуються через рік на одиницю активів, відповідно збережених у формі грошей та вкладених в облігації. Величина , а η є випадковою величиною. Економіко-математична задача найвигіднішого розподілу активу на гроші та облігації полягає у максимізації сподіваної корисності:

,

за умов:

;

.

Звідси випливає, що, коли , то активи потрібно вкладати в облігації, а в протилежному разі — навпаки. Отже, питання щодо розподілу активу між грішми та облігаціями повністю вирішується на користь одного з цих видів заощаджень. Якщо , то однаково, який спосіб заощадження буде використано.

Приклад 2. Розглянемо в загальному вигляді найпростішу стохастичну задачу з визначення оптимального плану виробництва.

Необхідно спланувати виробництво однорідної продукції, попит на яку випадковий.

Розв’язання.

Позначимо через Х обсяги виробництва продук­ції, через ω — попит на неї, а через С — витрати на виробництво одиниці продукції.

Оскільки попит на продукцію випадковий, то за будь-яких значень Х можливе або її перевиробництво, або дефіцит. Позначимо надлишок продукції через , дефіцит — через , а питомі витрати, що пов’язані зі зберіганням надлишку продукції та компенсацією дефіциту, — відповідно через та . Завдання полягає в знаходженні Х, що мінімізує математичне сподівання витрат, які пов’язані з виробництвом, надлишком та дефіцитом продукції.

Математична модель задачі матиме вигляд:

,

де

,

, .

Очевидно, що коли розв’язок вибрати за середнім значенням попиту , то при та (що, як правило, виконується) отримуємо тривіальну відповідь: .

Список використаної літератури

1. Конспект лекцій з дисципліни «Дослідження операцій».

2. Наконечний С. І., Савіна С. С. «Математичне програмування: Навч. посіб.» — К.: КНЕУ, 2003. — 452 с.

3. Жильцов О.Б. «Математичне програмування (з елементами інформаційних технологій): Навч. Посіб. для студ. вищ. навч. закл.» / за ред. О.О. Юнькової. –К.: МАУП, 2006. – 184 с.

4. Толок В.О., Киричевський В.В., Волкова Т.Д. «Курс математики для економістів. Навч. посіб. в трьох частинах». Ч. 1. – К.: Наук. Думка, 2002. – 336 с.

5. «Використання методів математичного програмування при прийнятті рішень» [електронний ресурс] – режим доступу: http://lib.lntu.info/books/fb/mm/2010/10-136/page8.html

6. «Общая характеристика задач стохастического программирования» [електронний ресурс] – режим доступу: http://iasa.org.ua/lections/iso/8/8.1.htm.

7. «Двухэтапные задчи стохастического программрования» [електронний ресурс] – режим доступу: http://iasa.org.ua/lections/iso/8/8.2.htm.