7. Двохетапні задачі стохастичного програмування

Недоліком розглянутих одноетапних задач стохастичного програмування є те, що в них лише фіксується факт можливих відхилень значень випадкових параметрів і усереднені розв’язки вибирають за умови, що відхилення значень від середнього рівня в будь-який бік небажане (зменшується величина дисперсії параметрів у обмеженнях або цільова функція — дисперсія мінімізується). У більшості реальних економічних задач має значення не лише величина відхилення, але також і його напрямок. Двохетапні задачі стохастичного програмування позбавлені зазначеного недоліку.

Розглянемо задачу стохастичного програмування в такій постановці:

, (7.1)

; (7.12)

. (7.3)

Якщо обмеження залежно від значень випадкових параметрів та вектора Х виконуються як , то можливе існування надлишку (ресурсів, продукції тощо). Позначимо його через :

.

За виконання обмежень залежно від значень випадкових параметрів та вектора Х у вигляді виникає дефіцит. Позначимо його через :

.

Отже, якщо , то , а якщо , то .

Інакше кажучи, ,

.

Очевидно, що система обмежень (7.2) задачі може бути подана в еквівалентній формі:

Допустимо також, що відомі величини — питомі витрати на збереження надлишків та — питомі витрати, що пов’язані з дефіцитом . Отже, можна визначити штрафну функцію для і-го обмеження за результатом його виконання. Позначимо її через S, тоді:

Тоді доцільно розв’язувати задачу (7.1)—(7.3) у такій постановці:

, (7.4)

; (7.5)

. (7.6)

Змінні та можна розглядати як такі, що забезпечують виконання обмежень (7.2) як рівностей [2, c. 411].

Отже, розв’язування задачі відбувається в два етапи: спочатку відшукують фіксований план згідно з апріорною інформацією про стан зовнішнього середовища, який і визначає реалізацію випадкових параметрів. Значення вектора Х не задовольняє обмеження задачі для кожного . На другому етапі після спостереження за зовнішнім середовищем і отримання точного значення випадкових параметрів ω знаходять значення змінних та , що компенсують відхилення, які виникли за попереднім планом Х. Витрати на корекцію початкового плану визначаються як .

Важливо спочатку отримати такий план, який би вимагав мінімальних витрат не лише на його реалізацію, але і на його корек­тування.

Коректування планів у процесі їх реалізації є цілком природним при складанні планів для реальних економічних процесів. Необхідність коректування плану зумовлена не недоліками планування, а складністю прийняття рішень за умов невизначеності.

Детерміноване моделювання не дає змоги об’єднати два етапи: прийняття плану та його коректування. Перехід від детермінованих моделей до стохастичних, в яких використовуються випадкові величини, що саме і викликають необхідність корекції, уможливлює отримання математичних моделей, що об’єднують вищеназвані два етапи планування. Отже, в результаті розв’язу­вання двохетапних стохастичних задач отримують плани, що є стійкими за умов невизначеності і мінімізують загальні витрати на реалізацію і корекцію плану, тобто забезпечують загальний ефект від попереднього плану та його корекції.

У моделях двохетапного стохастичного програмування відоб­ражаються найхарактерніші особливості планування за умов невизначеності:

1. ймовірнісний характер початкової інформації,

2. вибір попереднього плану з урахуванням його майбутнього коректування,

3. коректування попередньо вибраного плану по мірі уточнення інформації.

Модель (7.4)—(7.6) — найпростіша двохетапна модель стохастичного програмування. У загальному випадку план-корекція вводиться в систему обмежень з допомогою матриці корекції загального вигляду, елементи якої можуть залежати від ω, тобто розглядається система нерівностей:

,

, ; ,

або у векторно-матричній формі:

; (7.7)

, . (7.8)

Попередній план Х вибирається до спостережень над ω. Коли ω стає відомим, то визначають план-корекцію Y у такий спосіб, щоб виконувались співвідношення (7.7), (7.8). При цьому ефект від плану-корекції дорівнює: . (7.9)

Оскільки з кожним планом-корекцією Y пов’язаний певний ефект, то при певному Х і спостереженому ω його краще за все вибирати з умови максимізації (7.9) за обмежень (7.7), (7.8). Позначимо такий план через і назвемо його оптимальною корекцією плану Х за зовнішніх умов ω. Можна допус­тити, що існує при кожному Х і ω, у протилежному разі в (7.7) можна ввести штучні змінні Y^– і одночасно — в (7.8) з досить великим штрафом.

Сподіваний ефект від плану-корекції дорівнює: .

Суть задачі полягає у відшуканні плану Х, який максимізував би математичне сподівання ефекту від плану з урахуванням його майбутньої корекції:

(7.10)

за умов:

; (7.11)

, . (7.12)

Іноді нелінійну задачу (7.10)—(7.12) зручно формулювати дещо в іншому вигляді, а саме: знайти такий детермінований вектор Х і такий Y(ω), щоб

(7.13)

за обмежень:

; (7.14)

, . (7.5)

У такій постановці двохетапна задача зводиться до одноетапної. Одночасно знаходиться оптимальний план Х і його оптимальна корекція . Задача (7.13)—(7.15) на відміну від (7.10)—(7.12) лінійна, однак, якщо в задачі (7.10)—(7.12) розв’язком є n-вимірний вектор Х, для пошуку якого можна застосувати чисельні методи, то в задачі (7.13)—(7.15) невідомими є і застосувати для розв’язування задачі чисельні методи можна лише за умови, якщо Ω — скінченна множина з невеликою кількістю елементів [2, c. 415].