Тема 4.3. Арифметические действия с числами в позиционных системах счисления
Цель занятия – выработать умения выполнять арифметические действия с двоичными, восьмеричными и шестнадцатеричными числами.
Теоретические сведения
4.3.1. Арифметические действия с двоичными числами
Все операции сложения, вычитания и деления в системе счисления с любым основанием проводятся в соответствии с известными правилами выполнения данных операций в десятичной системе счисления.
Во всём мире предпочитают десятичную систему. Однако в вычислительной технике используется двоичная система. В этой системе счисления для представления любого разряда двоичного числа достаточно иметь один физический элемент только с двумя резко различимыми устойчивыми состояниями, одно из которых изображает 1, другое – 0 (это, в свою очередь, обеспечивает высокую надёжность представления чисел при минимальной сложности оборудования);
К достоинствам двоичной системы также относятся:
простота выполнения арифметических и логических операций и, как следствие, простота устройств, реализующих эти операции;
возможность использования аппарата алгебры логики для анализа и синтеза операционных устройств.
Неудобством двоичной системы счисления является её громоздкость по сравнению с десятичной для использования человеком и необходимость преобразования десятичных чисел в двоичные и наоборот. Однако, учитывая то обстоятельство, что многие математические задачи требуют сравнительно небольшого количества исходных данных по сравнению с объёмом вычислений, этот недостаток становится несущественным.
Основой выполнения арифметических операций в двоичной системе счисления являются следующие таблицы сложения, вычитания и умножения одноразрядных чисел (табл. 4.2).
Таблица 4.2
Таблица а |
Таблица б |
Таблица в |
0 + 0 = 0 |
0 – 0 = 0 |
0 0 = 0 |
0 + 1 = 1 |
1 – 0 =1 |
0 1 = 0 |
1 + 0 = 1 |
1 – 1 = 0 |
1 0 = 0 |
1 + 1 = 0 + единица переноса в старший разряд |
10 – 1 = 1 (с учётом заёма единицы в старшем разряде) |
1 1 = 1 |
Сложение двух чисел в двоичной системе можно выполнить столбиком, начиная с младших разрядов. При этом в каждом разряде складываются две цифры одноименных разрядов (в соответствии с табл. 4.2 а) и единицы переноса из соседнего младшего разряда, если он имел место. В результате сложения получим цифру соответствующего разряда суммы и возможную единицу переноса в старший соседний разряд. Например, сумма чисел 1101(2) и 1001(2) равна 10110(2):
.
Вычитание чисел, как и сложение, также выполняется столбиком (в соответствии с табл. 4.2 б). Особым случаем является тот, когда необходимо занимать единицу из соседнего старшего разряда, которая равна двум единицам данного разряда. Например, разность чисел 1101(2) и 1001(2) равна 100(2):
.
Умножение двоичных многоразрядных чисел осуществляется последовательным сложением частичных произведений, каждое из которых (в соответствии с табл. 4.2 в) равно множимому, сдвинутому на соответствующее число разрядов, если в разряде множителя стоит единица, или нулю, если в разряде множителя стоит ноль. Например, произведение чисел 1101(2) и 1001(2) равно 1110100(2):
.
Деление двоичных чисел производится аналогично делению десятичных чисел, но с учётом специфики операции вычитания двоичных чисел. Положение запятой результата умножения и деления определяется так же, как и для десятичных чисел. Например, частное чисел 1111101(2) и 101(2) равно 11001(2):
.