Задача 3

1. Представить временной ряд графически, провести его сглаживание методом простой скользящей средней, оценить наличие тренда.

2. Построить уравнение неслучайной составляющей (тренда) временного ряда, проверить значимость построенного уравнения по F-критерию при уровне значимости α=0,05.

3. Дать точечную, интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений с надежностью р=0,95 на 1 и 2 шага вперед.

4. Построить авторегрессионную модель временного ряда, дать точечный, интервальный прогноз среднего и индивидуального значений с надежностью р=0,95 на 1 и 2 шага вперед.

5. Сделать выводы по полученным результатам. Решение

Исходные данные представлены в таблице 11:

Таблица 11 – Объем продаж продовольственных товаров с 1 января 1990 г. в относительных единицах

Дата	11	Дата	11
01.01.1993	212	01.07.1994	203
01.02.1993	236	01.08.1994	227
01.03.1993	238	01.09.1994	243
01.04.1993	269	01.10.1994	236
01.05.1993	220	01.11.1994	245
01.06.1993	211	01.12.1994	225
01.07.1993	178	01.01.1995	191
01.08.1993	198	01.02.1995	175
01.09.1993	203	01.03.1995	207
01.10.1993	211	01.04.1995	218
01.11.1993	263	01.05.1995	216
01.12.1993	238	01.06.1995	252
01.01.1994	256	01.07.1995	237
01.02.1994	256	01.08.1995	242
01.03.1994	266	01.09.1995	249
01.04.1994	295	01.10.1995	284
01.05.1994	242	01.11.1995	280
01.06.1994	240

1. Представим с помощью MS Excel временной ряд графически и проведем его сглаживание методом простой скользящей средней с длиной интервала сглаживания равной 12:

Рисунок 5 – Исходный ряд MS Excel

Таблица 12 – Сглаживание исходных данных с помощью простой скользящей средней

Объем продаж продовольственных товаров с 1 января 1990 г	простая скользящая средняя
212
236
238
269
220
211
178	207,6153846
198	210,0769231
203	211,9230769
211	214
263	215,8461538
238	217,8076923
256	219,8846154
256	221,9615385
266	224,6153846
295	227,1153846
242	227,3846154
240	226,1923077
203	223,1923077
227	217,5769231
243	212,1923077
236	206,9615385
245	203
225	202,4615385
191	204,2307692
175	206,1153846
207	206,9230769
218	209
216	212,1923077
252
237
242
249
284
280

Рисунок 6 – Исходный ряд и скользящая средняя MS Excel

Исходя из графического представления временного ряда, можно предположить, что временной ряд имеет линейную тенденцию к повышению с явно просматривающейся сезонной компонентой.

2. Использую надстройку MS Excel «анализ данных: регрессия» построим линейное уравнение тренда:

Рисунок 7 – Линейная регрессия

Оценим значимость модели с помощью F-критерия Фишера.

Так как, табличное значение больше расчетного , модель не значима по критерию Фишера.

3. Точечный прогноз индивидуального значения с надёжностью на 1 и 2 шага вперёд приведен в относительных единицах:

Прогноз на 1 шаг (на 1 декабря 1995 года):

Прогноз на 2 шаг (на 1 января 1996 года):

Интервальная оценка прогноза индивидуального значения задаётся с помощью доверительного интервала , где .

, .

На 1 шаг: .

На 2 шага: .

Интервальная оценка прогноза индивидуального значения объёма продаж на 1 декабря 1995 года составляет .

Интервальная оценка прогноза индивидуального значения объёма продаж на 1 января 1996 года составляет .

Для интервальной оценки прогноза среднего значения величина отклонения от линии регрессии рассчитывается по зависимости.

На 1 шаг: .

На 2 шага: .

Интервальная оценка прогноза среднего значения объёма продаж на 1 декабря 1995 года составляет .

Интервальная оценка прогноза среднего значения объёма продаж на 1 января 1996 года составляет .

4. Для построения авторегрессионной модели оценим коэффициенты автокорреляции для разных лагов (Таблица 13)

Таблица 13 – Коэффициенты автокорреляции

лаг	1	2	3	4	5	6	7	8
rxy	0,609	0,346	0,014	0,162	0,149	0,269	0,177	0,445

Как видно из таблицы 14, самым большим и значимым является коэффициент автокорреляции между соседними уровнями ряда, поэтому будем строить авторегрессионную модель первого порядка:

Рисунок 8 – Авторегрессионная модель

Получаем следующую авторегрессионную модель:

y_t=88,82+0,6298y_t-1

Точечный прогноз индивидуального значения с надёжностью на 1 и 2 шага вперёд приведен в относительных единицах:

Прогноз на 1 шаг (на 1 декабря 1995 года):

Прогноз на 2 шаг (на 1 января 1996 года):

Интервальная оценка прогноза индивидуального значения задаётся с помощью доверительного интервала , где .

, .

На 1 шаг: .

На 2 шага: .

Интервальная оценка прогноза индивидуального значения объёма продаж на 1 декабря 1995 года составляет .

Интервальная оценка прогноза индивидуального значения объёма продаж на 1 января 1996 года составляет .

Для интервальной оценки прогноза среднего значения величина отклонения от линии регрессии рассчитывается по зависимости.

На 1 шаг: .

На 2 шага: .

Интервальная оценка прогноза среднего значения объёма продаж на 1 декабря 1995 года составляет .

Интервальная оценка прогноза среднего значения объёма продаж на 1 января 1996 года составляет .

5. Оценка объема продаж продовольственных товаров с 1 января 1990 г. В относительных единицах была проведена с помощью уравнения линейной регрессии и авторегрессионной модели. Исходя из графического представления временного ряда, можно предположить, что временной ряд имеет линейную тенденцию к повышению с явно просматривающейся сезонной компонентой. Из проведенного анализа, можно сделать вывод, что наиболее подходящей является авторегрессионная модель. Данная модель является значимой по критерию Фишера, а коэффициенты модели значимы по критерию Стьюдента. Точность построения модели можно оценить с помощью средней относительной ошибки аппроксимации. - точность модели высокая.