Задача 1

1. Построить поле корреляции и сформулировать гипотезу о виде уравнения регрессии (линейное, показательное, гиперболическое и т.п.).

2. Построить наиболее подходящее уравнение регрессии.

3. Оценить величину влияния фактора на исследуемый показатель с помощью коэффициента корреляции и детерминации.

4. Оценить качество построенной модели с точки зрения адекватности и точности. Для этого оценить математическое ожидание остаточного ряда, проверить случайность уровней остатков ряда, их независимость и относительную ошибку аппроксимации.

5. С помощью коэффициента эластичности определить силу влияния фактора на результативный показатель.

6. Проверить значимость коэффициента регрессии и провести его интервальную оценку.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличилось на 10% от среднего уровня. Определить доверительный интервал прогноза для уровня значимости .

8. Сделать выводы по полученным результатам.

Исходные данные представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные

Цена кв-ры, y	Жилая. площадь, x
34,4	21,4
24,7	20,6
30,8	29,7
15,9	17,8
29,0	43,5
15,4	17,8
28,6	42,4
15,6	20,0
27,7	41,3
34,1	35,4
37,7	41,4
41,9	48,5
24,4	22,3
21,3	18,0

Решение

1. Поле корреляции по исходным данным было построено в программе MS Excel (Рисунок 1).

Рисунок 1 – Поле корреляции

Из рисунка 1 видно, что между показателями существует положительная связь, но строго прямая зависимость не наблюдается: с увеличением жилой площади цена квартиры растёт не всегда. На величину стоимости квартиры может влиять множество других факторов.

По данным были построены различные линии тренда – линейной, экспоненциальной, степенной функций (Рисунок 2). Поскольку линии тренда различных функций довольно сходны между собой, будем использовать – линейную зависимость , в целом отражающую динамику роста.

Рисунок 2 – Линии тренда

2. Линейная модель имеет вид:

Построение модели осуществлялось в программе MS Excel (Регрессия – Анализ данных (Рисунок 3)).

Рисунок 3 – Построение линейной модели в программе MS Excel

3. Оценка тесноты связи между показателем и фактором была определена с помощью коэффициента корреляции:

Коэффициент корреляции равен 0,745 – связь между фактором и показателем прямая, значительная.

Коэффициент детерминации определяется по зависимости:

Коэффициент детерминации 0,556. Около 56% вариации зависимой переменной обусловлено влиянием включённого фактора, а остальные 44% обусловлены влиянием других, не учтённых в модели, факторов.

4. Проверка на наличие/отсутствие систематических ошибок осуществляется на основе анализа ряда остатков. Чтобы модель являлась адекватной, должны выполнятся следующие требования:

1. уровни ряда остатков имеют случайный характер.

Для проверки используется критерий поворотных точек. Подсчитывается количество поворотных точек в ряде остатков и сравнивается с расчетным

В ряде остатков 7 поворотных точек, p>5. Т.о. уровни имеют случайный характер, систематических ошибок нет. В таблице 2 представлен расчёт поворотных точек.

Таблица 2 – Расчётная таблица для критерия поворотных точек

				Поворотные точки
34,4	21,4	22,6343	11,7657	-
24,7	20,6	22,2053	2,4947	1
30,8	29,7	27,0853	3,7147	1
15,9	17,8	20,7038	-4,8038	0
29,0	43,5	34,4857	-5,4857	1
15,4	17,8	20,7038	-5,3038	1
28,6	42,4	33,8958	-5,2958	1
15,6	20,0	21,8836	-6,2836	1
27,7	41,3	33,3059	-5,6059	0
34,1	35,4	30,1420	3,9580	0
37,7	41,4	33,3595	4,3405	0
41,9	48,5	37,1669	4,7331	1
24,4	22,3	23,1170	1,2830	0
21,3	18,0	20,8111	0,4889	-

2. Математическое ожидание значений остаточного ряда равно 0.

Вычисляется среднее значение ряда остатков

0,000000000000055

3. Значения уровней ряда остатков независимы друг от друга (отсутствует автокорреляция).

Проведем проверку на основе d-критерия Дарбина-Уотсона

Необходимые расчёты приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Расчёт критерия Дарбина-Уотсона

№ п/п
1.	138,4305
2.	6,2233	85,9513
3.	13,7991	1,4885
4.	23,0767	72,5653
5.	30,0924	0,4649
6.	28,1305	0,0331
7.	28,0452	0,0001
8.	39,4835	0,9758
9.	31,4260	0,4593
10.	15,6661	91,4686
11.	18,8398	0,1463
12.	22,4018	0,1541
13.	1,6461	11,9028
14.	0,2391	0,6306
∑	397,5000108	266,2405894

Расчетное значение d=0,6698 сравнивается с величинами d₁=1,06 и d₂=1,35, определенными по таблице. d<d₁ гипотеза о независимости остатков отвергается.

4. Уровни ряда остатков подчинены нормальному закону распределения.

Используем RS-критерий:

RS=3,136. по таблице определяются граничные значения критерия RS₁=2,612 и RS₂=3,6. RS₁<RS<RS₂ – условие выполняется.

Точность построения модели можно оценить с помощью средней относительной ошибки аппроксимации

- точность модели приемлемая.

5. Определим силу влияния фактора на результативный показатель с помощью коэффициента эластичности

э=0,591. Т.е. при увеличении фактора на 1% показатель увеличивается на 0,591%.

6. Проверка значимости коэффициента регрессии проводится по Т-критерию Стьюдента

,

где - СКО коэффициента регрессии

,

- СКО остатков модели

, .

Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии строятся по зависимости.

где – стандартная ошибка соответствующего коэффициента модели, определяется по зависимостям.

Расчетные значения t-критерия и границы доверительных интервалов представлены в таблице 4.

Таблица 4 – Расчётные значения t-критерия Стьюдента для коэффициентов модели

	Коэффициенты	t-статистика	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	11,15842537	2,518991982	1,506897894	20,80995284
Переменная X 1	0,536258141	3,873684709	0,234631601	0,83788468

t_табл=2,179, т.о. коэффициенты регрессии значимы.

7. Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличилось на 10% от среднего уровня. х_пр=33,007, у_пр=b₀+b₁x_пр. Т.о. у_пр=28,859.

Определим доверительный интервал прогноза

Параметр распределения Стьюдента при уровне значимости 0,05 t_p=2,179. . Таким образом, нижняя граница доверительного интервала прогноза составляет 19,995; верхняя граница равна 46,019.

8. Зависимость цены квартиры от величины её жилой площади описана линейным уравнением регрессии. Коэффициент корреляции показал, что между фактором и результатом наблюдается значительная статистическая связь. Коэффициент детерминации показал, что только около 56% вариации зависимой переменной обусловлено влиянием включённого в модель фактора, а остальные 44% обусловлено влиянием других, не учтённых в модели, факторов. При помощи коэффициента эластичности была определена сила влияния фактора на результативный показатель: при изменении фактора на 1% результативный показатель увеличивается на 0,59%. Результат оценки параметров уравнения регрессии показал, что его коэффициенты статистически значимы. Выяснив, что уровни ряда остатков имеют случайный характер, математическое ожидание уровня ряда остатков равно нулю и подчинены нормальному закону распределения, был сделан вывод, что построенная линейная модель является адекватной с приемлемой точностью средней относительной ошибки аппроксимации, равной 18%.

Чтобы модель была более точной, и пригодной для прогнозирования, необходимо увеличить размер выборки и количество факторов в модели.