5. Классификация моделей
Модель – условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубоко изучения действительности. Моделирование – метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей. Модели: словесные (монографические), графические, физические, экономико-математические и т.п. По степени агрегирования: микроэкономические; одно-, двухсекторные (одно-, двухпродуктовые); многосекторные (многопродуктовые); макроэкономические; глобальные. По учету фактора времени: статические, динамические. По цели создания и применения: балансовые, эконометрические, оптимизационные, сетевые, систем массового обслуживания, имитационные (экспертные). По учету фактора неопределенности: детерминированные (с однозначно определенными результатами), стохастические (с различными, вероятностными результатами). По типу математического аппарата: линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные, матричные, сетевые, теории игр, теории массового обслуживания и т.д.
6. Производственные функции
Производственные
функции (ПФ) устанавливают соотношение
между затратами ресурсов и выпуском
продукции. Общий вид: Y
= f
(x1,…,xn);
Y
– выпуск продукции; xn
– выделяемое количество производственного
ресурса вида i.
Типовые варианты выражения функции f
– зависимости вида:
,
где каждая из составляющих вычисляется
как функция одного вида ресурс (численность
работающих, стоимость основных фондов,
вкладываемые материальные ресурсы,
энергетические затраты, …). В простейшем
случае выпуск продукции связывают
только с численностью работающих L
или стоимость основных фондов K:
Y
= aL;
Y
= bK;
a
– производительность труда; b
– фондоотдача. Однако подобные ПФ не
позволяют учесть взаимозаменяемость
и взаимовлияние ресурсов, в то время
как на практике недостаток одного вида
ресурсов обычно восполняют повышением
расхода других: Y
= Y0LαKβ;
Y
= Y0*(K/K0)β*(L/L0)α
– функция Кобба-Дугласа. Y/Y0;
K/K0;
L/L0
– индексы соответствующих величин.
Дальнейшее совершенствование ПФ обеспечивают введением фактора времени для учета тенденции ухудшения показателей оборудования с повышением срока его службы и положительного воздействия мероприятий по совершенствованию технологий и организации производства. В составе ПФ фактор времени может быть в виде корректирующего показателя (eλt; (1 – e-λt), а также запаздыванием между временным интервалом вложения ресурсов и получения отдачи в виде прироста выпуска продукции. Один из вариантов ПФ предусматривает расчет воздействия НТР через затраты на развитие науки и техники J, повышения квалификации рабочих P: Y = Y0LαKβJγPε.
7. Экономико-математическая модель фирмы
Пусть производственная фирма выпускает 1 вид продукции или много видов, но в постоянной структуре. X – годовой выпуск фирмы в натурально-вещественной форме. Для производства продукции фирма использует настоящий труд L – среднее число занятых в год, и прошлый труд в виде средств труда K (основные производственные фонды) и предметов труда M (затраченное за год топливо, энергия, сырье). x = (x1…xn) – вектор-столбец возможных объемов затрат различных видов ресурсов. Технология фирмы: X = F(x) – дважды непрерывно дифференцируемая функция и матрица ее вторых производных отрицательно определена. Функция прибыли: П(x) = pF(x) – Wx; p – цена единицы продукции; W = (W1…Wn) – вектор-строка цен ресурсов.
Задача на максимум прибыли: maxx≥0[pF(x) - Wx] – задача нелинейного программирования. Необходимые условия решения – условия Куна-Таккера: δП/δx = pδF/δx – W ≤ 0; xδП/δx = (pδF/δx – W)*x = 0. Если в оптимальном решении использованы все виды ресурсов (x* > 0): pδF(x*)/δx = W или pδF(x*)/δxj = Wj; j = 1…n. Т.е. в оптимальной точке стоимость предельного продукта данного ресурса должна равняться его цене.
Задача на максимум выпуска при заданном объеме издержек C: maxF(x), Wx ≤ C, x ≥ 0 – задача нелинейного программирования с 1 линейным ограничением и условием неотрицательности переменных. Строим функцию Лагранжа: L(x, λ) = F(x) + λ(C – Wx) – и максимизируем: maxx≥0L(x, λ). Условия Куна-Таккера: δF/δx – λW ≤ 0; (δF/ δx – λW)*x = 0 – совпадает с условием для прибыли, если λ = 1/p.