3 Построение мультипликативной модели временного ряда

Имеются данные о выплате акционерам ОАО «Весна» дивидендов за последние три года (усл. ден. ед.)

Таблица 6 Исходные данные для построения моделей временного ряда

Годы	2006 г.				2007 г.				2008 г.
Квартал,	1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4
	40	60	50	30	50	80	70	50	60	100	80	60

Изобразим временной ряд графически.

Рисунок 2 Временной ряд

По графику ряда можно установить наличие приблизительно линейного тренда и сезонных колебаний (период равен 4) возрастающей амплитуды, поэтому строим мультипликативную модель.

Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней (таблица 7 – та же методика расчета, что и для аддитивной модели табл. 2).

Таблица 7 Расчет оценок сезонной компоненты в мультипликативной модели

Номер квартала,	Уровни ряда,	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	40	-	-	-	-
2	60	180	45,0	-	-
3	50	190	47,5	46,25	1,081
4	30	210	52,5	50,00	0,600
5	50	230	57,5	55,00	0,909
6	80	250	62,5	60,00	1,333
7	70	260	65,0	63,75	1,098
8	50	280	70,0	67,50	0,741
9	60	290	72,5	71,25	0,842
10	100	300	75,0	73,75	1,356
11	80	-	-	-	-
12	60			-	-

Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда (графа 6 таблица 7). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (таблица 7). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты . Взаимопогашаемость сезонных воздействий в мультипликативной модели выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числе периодов в цикле, т.е. 4 (4 квартала в цикле – в году).

Таблица 8 Расчет сезонной компоненты в мультипликативной модели

Показатель	Год	Номер квартала
		1	2	3	4
	1 2 3	- 0,909 0,842	- 1,333 1,356	1,081 1,098 -	0,600 0,741 -
Итого за i-й квартал (за все годы)	×	1,751	2,689	2,179	1,341
Средняя оценка сезонной компоненты для i-ого квартала,	×	0,876	1,345	1,090	0,671
Скорректированная сезонная компонента,	×	0,880	1,351	1,095	0,674

Имеем: 0,876 + 1,345 + 1,090 + 0,671 = 3,980.

Рассчитаем корректирующий коэффициент:

Определим скорректированные значения сезонной компоненты, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент : , где

Проверим условие равенства четырем суммы значений сезонной компоненты: 0,880 + 1,351 + 1,095 + 0,674 = 4.

Получим следующие значения сезонной компоненты:

1 квартал: 2 квартал:

3 квартал: 4 квартал:

Занесем полученные значения в таблицу 8 для соответствующих кварталов каждого года (графа 3).

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Получим T  E = Y / S (графа 4 таблицы 9). Эти значения рассчитываются для каждого момента времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 9 Расчет выравненных значений Т и ошибок Е

в мультипликативной модели

			Т  Е =	Т	Т  S	Е = : (TS)	Е = - (TS)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	40	0,88	45,45	40,178	35,357	1,131	4,643	21,561	433,889
2	60	1,351	44,41	44,062	59,528	1,008	0,472	0,223	0,689
3	50	1,095	45,66	47,946	52,501	0,952	-2,501	6,254	117,289
4	30	0,674	44,51	51,83	34,933	0,859	-4,933	24,339	950,489
5	50	0,88	56,82	55,714	49,028	1,020	0,972	0,944	117,289
6	80	1,351	59,22	59,598	80,517	0,994	-0,517	0,267	367,489
7	70	1,095	63,93	63,482	69,513	1,007	0,487	0,237	84,089
8	50	0,674	74,18	67,366	45,405	1,101	4,595	21,117	117,289
9	60	0,88	68,18	71,25	62,700	0,957	-2,700	7,290	0,689
10	100	1,351	74,02	75,134	101,506	0,985	-1,506	2,268	1534,289
11	80	1,095	73,06	79,018	86,525	0,925	-6,525	42,572	367,489
12	60	0,674	89,02	82,902	55,876	1,074	4,124	17,008	0,689
Итого	730	12,000	738,46	738,48	733,388	12,013	-3,388	144,080	4091,667

Шаг 4. Определим компоненту Т в мультипликативной модели. Для этого проведем выравнивание ряда (Т  Е) с помощью линейного тренда.

Для оценки параметров и необходимо составить систему нормальных уравнений:

.

Таблица 9 Расчет линейного тренда уровней временного ряда

№ п/п
1	1	45,45	45,455	1	40,178
2	2	44,41	88,823	4	44,062
3	3	45,66	136,986	9	47,946
4	4	44,51	178,042	16	51,830
5	5	56,82	284,091	25	55,714
6	6	59,22	355,292	36	59,598
7	7	63,93	447,489	49	63,482
8	8	74,18	593,472	64	67,366
9	9	68,18	613,636	81	71,250
10	10	74,02	740,192	100	75,134
11	11	73,06	803,653	121	79,018
12	12	89,02	1068,249	144	82,902
Итого	78	738,46	5355,380	650	738,480

Система нормальных уравнений составит:

Решив ее, получаем:

Итак, линейный тренд имеет вид: .

Найдем уровни Т для каждого момента времени (графа 5 таблицы 9).

Шаг 5. Найдем уровни ряда по мультипликативной модели, умножив уровни Т на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов (графа 6 таблицы 8).

Шаг 6. Расчет ошибки в мультипликативной модели проводится по формуле Е = : (T  S). Численные значения ошибки приведем в графе 7 таблицы 9.

Чтобы сравнить мультипликативную модель ряда с другими моделями, используем сумму квадратов абсолютных ошибок. Абсолютные ошибки в мультипликативной модели определяются по формуле: Е = - (TS). В данной модели сумма квадратов абсолютных ошибок составляет 144,080. Общая сумма квадратов отклонений фактических уровней ряда от среднего значения . Доля объясненной дисперсии уровней ряда динамики равна: или 96,5% - мультипликативная модель объясняет 96,5% общей вариации уровней временного ряда.

Прогнозное значение уровня временного ряда в мультипликативной модели есть произведение трендового значения и соответствующего значения сезонной компоненты

Для расчета трендовых значений воспользуемся уравнением тренда, рассчитанным нами на шаге 4: : первый квартал 2009 г. будет стоять под номером 13 в ряду, поэтому

Значение сезонной компоненты за первый квартал равно

Прогнозное значение составит:

Выплата дивидендов в первом квартале 2009 года составит 76,372 усл. ден. ед.