Матричний запис лінійних рівнянь
96. Критерій сумісності системи лінійних рівнянь.. Теорема Кронекера-Капеллі.
Теорема (Критерій сумісності Кронекера - Капеллі).Для сумісності системи лінійних рівняннь необхідно і достатньо, щоб ранг основної матриці системи дорівнював рангу розширеної матриці.
Спільне значення рангів основної і розширенної матриць називають рангом сумісної системи лінійних рівняннь.
Наслідок
.
(Критерій
визначенності).
Якщо ранг системи дорівнює кількості
невідомих, то система визначена, якщо
меньше - невизначена.
Розглянемо
випадок, коли кількість рівнянь сумісної
системи AX=B дорівнює кількості невідомих
і дорівнює рангу системи. У цьому випадку
detA
=0.
Тоді
AX=B
X=A−1B
Система лінійних рівнянь назив ається однорідною, якщо стовпець вільних членів складається з нулів (в іншому випадку -неоднорідною).
Легко бачити, що однорідна система завжди сумісна. Зауважимо, що нульовий вектор задовільняє рівняння усякої однорідної системи. Такий розв'язок однорідної системи називається тривіальним.
Фундаментальною системою розв'язків невизначенної однорідної системи лінійних рівнянь називається сукупність таких вектор-розв'язків, коли будь-який розв'язок однозначно зображається у вигляді лінійної комбінації вектор-розв'язків цієї сукупності.
Кількість вектор-розв'язків фундаментальною системою розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь з n невідомими дорівнює n−r, де r - ранг системи.
Загальний розв'язок неоднорідної системи рівнянь дорівнює сумі частинного вектор-розв'язку цієї системи та загального вектор-розв'язку однорідної системи з тією ж матрицею коефіцієнтів.
97.Метод координат. Положення точки на прямій.
Метод координат - це спосіб визначення положення точки, фігури або тіла за допомогою чисел або інших символів. Числа , за допомогою яких визначається положення точки, називаються координатами.
Перевага методу координат перед системним методом, за якого безпосередньо розглядаються фігури і кожна задача потребує особливого підходу, в його алгоритмічності. Справді, за допомогою методу координат кожна геометрична задача зводиться до алгебраїчної, а алгебраїчні задачі легше алгоритмізувати.
Аналітична геометрія - розділ математики, в якому властивості геометричних об’єктів вивчаються засобами алгебри на основі методу координат. Основоположником аналітичної геометрії вважають Декарта,який вперше в 1637 році у своїй книзі «Геометрія» дав чіткий виклад ідеї методу координат на площині. Декарт запропонував положення точки на площині відносно заданої системи координат визначати за допомогою 2 чисел - її координат, а кожну лінію на площині розглядати як множину точок,заданих певною геометричною умовою. Ця умова записується у вигляді рівняння,що зв’язує змінні координати точок,що належать даній лінії назив. рівнянням цієї лінії. Такий спосіб дослідження геометричних об’єктів і називається методом координат.
Положення точки на прямій визначається числом, що називається координатою цієї точки. Приклад : точка А має координату -1,5, точка В - координату 3. Пишуть: А(-1,5), В(3).