18

Визначений інтеграл — в математичному аналізі це інтеграл функції з вказаною областю інтегрування. Визначений інтеграл є неперервним функціоналом, лінійним по підінтегральним функціям і адитивним по області інтегрування. У найпростішому випадку область інтегрування — це відрізок числової осі. Геометричний смисл цього визначеного інтеграла — це площа криволінійної фігури, обмеженої віссю абсцис, двома вертикалями на краях відрізка і кривою графіка функції.

1. Визначення загального обсягу випущеної продукції

Нехай деяка фірма випускає один вид продукції, використовуючи один ресурс. Виробнича функція фірми має вигляд q=q(x), де x - затрати ресурсу, а q - обсяг випуску. Затрати ресурсу x є функцією від часу t, наприклад, x=x(t).

Тоді загальний обсяг продукції Q за час від T0 до T1 обчислюється за допомогою визначеного інтегралу.

При, x(t)=100e0,2t, T0=0 та T1=5 (років) загальний обсяг випущеної за п’ять років продукції

2. Визначення коефіцієнта Джинні

Нехай y=y(x) - частка (доля) приватного капіталу деякої країни, яка перебуває у власності групи людей, що становлять частку (долю) x населення цієї країни.

Наприклад, у тому випадку, коли 30% населення володіє 10% капіталу, 60% населеня 35% капіталу, і 85% 60% капіталу, маємо таке:

y(0,3)=0,1;

y(0,6)=0,35;

y(0,85)=0,6.

Очевидно, що завжди y(0)=0 та y(1)=1.

На рис. 7.6 зображена відповідна крива (крива Лоренца).

Очевидно, що у разі абсолютно рівномірного розподілу багатства в країні крива Лоренца є бісектрисою прямого кута (прямою y = x). Зі збільшенням нерівності збільшується площа між кривою y=y(x) та прямою y = x. Числове значення цієї площі K (0

У курсі “Теорія ймовірності і математична статистика” буде з’ясовано, що ймовірність потрапляння неперервної випадкової величини x в інтервал [a;b] дорівнює інтегралу, де f(x) - диференціальна функція (функція густини) розподілу ймовірностей величини x.

Знайдемо невласні інтеграли від деяких таких функцій.

1. Диференціальна функція (густина) рівномірного розподілу ймовірностей (рис. 7.9,а) дорівнює

2. Диференціальна функція (густина) показникового розподілу ймовірностей (рис. 7.9,б) f(x)=kxe-kx дорівнює

3. Диференціальна функція (густина) нормального закону (закону Гауса) розподілу (рис. 7.9,в).

За допомогою спеціальних методів можна показати, що

1/(b-a)

Властивості визначеного інтеграла. Застосування визначеного інтеграла для обчислення площ фігур. Застосування визначеного інтеграла для обчислення об’ємів тіл. Застосування визначеного інтеграла в фізиці і техніці

Якщо нижня і верхня границі функції співпадають, то інтеграл дорівнює нулю.

Якщо в інтеграла поміняти місцями нижню і верхню границі інтегрування, то значення інтеграла зміниться на протилежне.

Щоб обчислити визначений інтеграл від функції зі сталим множником, можна сталий множник винести за знак інтеграла.

Визначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів з тими ж границями інтегрування від кожного доданка.

Визначений інтеграл від заданої функції з границями інтегрування, що є протилежними числами, дорівнює:

якщо функція непарна, то нулю;

- якщо функція парна, то подвоєному інтегралу від тієї ж функції, але від нуля до заданої верхньої границі інтегрування.

Якщо фігура, площу якої треба знайти, обмежена графіками функцій f(x) (обмежує зверху) і g(x) (обмежує знизу), то для обчислення площі такої фігури треба обчислити інтеграл від різниці цих функцій на заданому проміжку.

Якщо криволінійна трапеція обмежена зверху різними функціями, то площа криволінійної трапеції дорівнює сумі площ криволінійних трапецій, обмежених зверху кожною з цих функцій.

Якщо фігура розміщена у від’ємній півплощині відносно осі абсцис, то її площу можна знайти як модуль визначеного відповідного інтеграла.

Для обчислення площ фігур, обмежених графіками заданих функцій, використовуємо таку схему:

- Побудувати фігуру, площу якої треба знайти в координатній площині;

- Знайти абсциси точок перетину графіків заданих функцій.

- Скласти й обчислити інтеграл від різниці верхньої і нижньої функцій із границями інтегрування, які дорівнюють абсцисам точок перетину графіків функцій.

Зверніть увагу! Нижньою границею інтегрування треба брати лівий кінець відрізка, на якому визначається криволінійна трапеція.

Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної невід’ємної функції, дорівнює визначеному інтегралу квадрата функції, помноженого на константу π.

Робота змінної сили вздовж осі абсцис на заданому проміжку дорівнює визначеному інтегралу від функції сили.

Шлях, що проходить тіло зі змінною швидкістю за проміжок часу, дорівнює інтегралу від функції швидкості.

Маса стержня із змінною густиною з заданою довжиною дорівнює визначеному інтегралу від функції густини.

Розділ 1. Теоретичні відомості про визначний інтеграл

1.1 Задачі, що привели до поняття визначеного інтеграла

Розглянемо дві задачі — геометричну та фізичну.

1. Обчислення площі криволінійної трапеції. Нехай на відрізку [а, b] визначена неперервна функція у = f (х) і будемо поки що вважати, що f (х) 0 для усіх x є [а, А].

Фігуру, обмежену кривою у = f (х), відрізком [а, b] осі 0х, прямими х = а та х = b, називають криволінійною трапецією. В окремих випадках може f (а) = 0 або f (b) = 0 і тоді відповідна сторона трапеції стягується в точку.

Для обчислення площі S цієї криволінійної трапеції поділимо відрізок [а,b] довільним чином на n частин точками

а = х0 < x1 < х2 < ... < xk < ... < хn = b

Довжини цих частин

Перпендикуляри до осі 0х, проведені із точок ділення до перетину із кривою у = f (х), розділяють усю площу трапеції на n вузьких криволінійних трапецій. Замінімо кожну із цих трапецій прямокутника з основою та висотою , де Площа кожного такого прямокутника дорівнює

Сума площ усіх таких прямокутників буде дорівнювати

Таким чином, площа S криволінійної трапеції наближено дорівнює цій сумі, тобто

Ця формула буде тим точнішою, чим менше величина

Щоб одержати точну формулу для обчислення площі S криволінійної трапеції, треба в цій формулі перейти до границі, коли Тоді

2. Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях s, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t0 до t [3].

Поділимо проміжок часу T-t0 на n частин: Δt1,Δt2,…,Δtn.

Позначимо через довільний момент часу із проміжку Δtk, а значення швидкості у цій точці позначимо

Точка, що рухається з постійною швидкістю Vk на проміжку часу Δtk, проходить за цей час шлях а за час T - t0 вона пройде шлях

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли Δtk→0, тоді змінна швидкість на проміжку Δtk мало відрізняється від постійної Vk. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t0 буде дорівнювати границі цієї суми при max Δtk→ 0, тобто

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії — траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

1.2 Означення визначеного інтеграла та його зміст

Нехай функція f (х) задана на відрізку [a, b]. Розіб'ємо цей відрізок на n частин точками ділення а = х0 < x1 < x2 < ... < хn = b

У кожному проміжку [xk-1, xk] довжиною

Δхk = хk- хk-1

оберемо довільну точку і обчислимо відповідне значення функції

Побудуємо суму яку називають інтегральною сумою для функції f (х) на відрізку [а,b].

Означення 1. Якщо існує скінченна границя інтегральної суми при незалежна від способу ділення відрізка [а,b] на частини та добору точок то ця границя називається визначеним інтегралом від функції f (х) на відрізку [а,b] і позначається

Математично це означення можна записати так:

Відмітимо, що числа а та b називають нижньою та верхньою межами, відповідно.

Згідно з цим означенням рівності (1) та (2) тепер можна записати у вигляді

тобто площа криволінійної трапеції S та шлях S, пройдений точкою із змінною швидкістю V = f (t) виражаються визначеним інтегралом. Перевірка існування скінченної границі інтегральної суми для кожної функції утруднена. Але такої перевірки робити не треба тому, що використовують таку відому теорему [1].

Теорема 1. Якщо функція f (х) неперервна на відрізку [а, b] або обмежена і має скінченну кількість точок розриву на цьому відрізку, то границя інтегральної суми існує, тобто функція f (х) інтегрована на [a, b].