4. Что понимается под генеральной совокупностью? Что понимается под случайной выборкой из генеральной совокупности?

Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Число элементов в генеральной совокупности называется объемом генеральной совокупности (обозначается N). Относительно N, как правило, делается предположение, что он бесконечно велик, т. е. выборка получается из бесконечной генеральной совокупности.

Выборочной совокупностью (выборкой) называют совокупность случайно отобранных объектов.

Объемом совокупности называют число объектов этой совокупности, например:

N=1000(генеральная совокупность), n=100 (объем малой выборки).

6. Каковы основные задачи математической статистики?

Основные задачи математической статистики:

1. Статистическая оценка параметров распределения:

а) Обьем выборки;

Х_Выб

D_Выб

S² выб

б) Построение эмпирической функции распределения;

в) Построение гистограмм частот и относительных частот;

г) Проверка гипотезы о виде распределения с использованием необходимых критериев.

2. Сравнение нескольких выборок для оценки генеральной дисперсии:

а) Оценка дисперсий по методу Фишера-Снедекора;

б) Оценка дисперсий для выборок различного обьема с помощью критерия Бартлетта;

в) Оценка дисперсий для выборок одинакового обьема с помощью критерия Кочрена.

3. Методы корреляционно-регрессионного анализа:

а) Устанавливается вид корреляционной зависимости по данным наблюдений с подсчетом корреляционного момента, коэффициента корреляции и построения линии регрессий;

б) С применением метода наименьших квадратов строится уравнение линейной регрессии и проверяется гипотеза о значимости выборочного коэффициента с помощью распределения Стьюдента.

7. Дайте определение выборочной функции распределения. Дайте определение выборочной средней арифметической. Дайте определение выборочной дисперсии.

Выборочная (эмпирическая) функция распределения в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

Кроме эмпирической функции распределения, для описания данных используют и другие статистические характеристики. В качестве выборочных средних величин постоянно используют выборочное среднее арифметическое, т.е. сумму значений рассматриваемой величины, полученных по результатам испытания выборки, деленную на ее объем:

где n – объем выборки, x_i – результат измерения (испытания) i-ого элемента выборки.

Другой вид выборочного среднего – выборочная медиана. Она определяется через порядковые статистики. Порядковые статистики – это члены вариационного ряда, который получается, если элементы выборки x₁, x₂,…, x_n расположить в порядке неубывания:

х(1)<x(2)<…<x(k)<…<x(n).

Пример 1. Для выборки x₁ = 1, x₂ = 7, x₃ = 4, x₄ = 2, x₅  = 8, x₆ = 0, x₇ =5, x₈ = 7 вариационный ряд имеет вид 0, 1, 2, 4, 5, 7, 7, 8, т.е. х(1) = 0 = x₆, х(2) = 1 = x₁, х(3) = 2 = x₄, х(4) = 4 = x₃, х(5) = 5 = x₇, х(6) = х(7) = 7 = x₂ = x₈, х(8) = 8 = x₅.

В вариационном ряду элемент x(k) называется k-той порядковой статистикой. Порядковые статистики и функции от них широко используются в вероятностно-статистических методах принятия решений, в эконометрике и в других прикладных областях [2].

Выборочная медиана  - результат наблюдения, занимающий центральное место в вариационном ряду, построенном по выборке с нечетным числом элементов, или полусумма двух результатов наблюдений, занимающих два центральных места в вариационном ряду, построенном по выборке с четным числом элементов. Таким образом, если объем выборки n – нечетное число, n = 2k+1, то медиана  = x(k+1), если же n – четное число, n = 2k, то медиана  = [x(k) + x(k+1)]/2, где x(k) и x(k+1) – порядковые статистики.

В статистике в качестве выборочных показателей рассеивания результатов наблюдений чаще всего используют выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и размах выборки.

Выборочной дисперсией (Dв или s²) называют средне арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений признака от их среднего значения x_В.

,

где

Выборочное среднее квадратическое отклонение или S – неотрицательный квадратный корень из дисперсии, т.е. .

В некоторых литературных источниках выборочной дисперсией называют другую величину:

Она отличается от s² постоянным множителем:

Соответственно выборочным средним квадратическим отклонением в этих литературных источниках называют величину  Тогда, очевидно,

Различие в определениях приводит к различию в алгоритмах расчетов, правилах принятия решений и соответствующих таблицах. Поэтому при использовании тех или иных нормативно-технических и инструктивно-методических материалов, программных продуктов, таблиц необходимо обращать внимание на способ определения выборочных характеристик.

Выбор , а не s², объясняется тем, что

где Х – случайная величина, имеющая такое же распределение, как и результаты наблюдений. В терминах теории статистического оценивания это означает, что  - несмещенная оценка дисперсии (см. ниже). В то же время статистика s² не является несмещенной оценкой дисперсии результатов наблюдений, поскольку

Однако у s² есть другое свойство, оправдывающее использование этой статистики в качестве выборочного показателя рассеивания. Для известных результатов наблюдений x₁, x₂,…, x_n рассмотрим случайную величину У с распределением вероятностей

и Р(У = х) = 0 для всех прочих х. Это распределение вероятностей называется эмпирическим. Тогда функция распределения У – это эмпирическая функция распределения, построенная по результатам наблюдений x₁, x₂,…, x_n. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины У:

Второе из этих равенств и является основанием для использования s² в качестве выборочного показателя рассеивания.

Отметим, что математические ожидания выборочных средних квадратических отклонений М(s) и М(s₀), вообще говоря, не равняются теоретическому среднему квадратическому отклонению σ. Например, если Х имеет нормальное распределение, объем выборки n = 3, то

Кроме перечисленных выше статистических характеристик, в качестве выборочного показателя рассеивания используют размах R – разность между n-й и первой порядковыми статистиками в выборке объема n, т.е. разность между наибольшим и наименьшим значениями в выборке: R = x(n) – x(1).