4. Оценить качество уравнения множественной регрессии:

4.1. Найти среднюю относительную ошибку аппроксимации.

Средняя относительная ошибка аппроксимации оценивает математическую точность уравнения регрессии и находится по формуле:

Средняя относительная ошибка аппроксимации немногим больше 20%, точность уравнения можно считать близкой к удовлетворительной.

4.2. Проверить статистическую значимость уравнения множественной регрессии в целом.

Статистическая значимость уравнения множественной линейной регрессии в целом оценивается с помощью критерия Фишера.

Находится расчетное значение критерия:

где y_i – фактические значения переменной y,

– теоретические значения переменной y, найденные по уравнению регрессии,

n = 18 – объем выборки (число наблюдений),

m = 2 – число параметров уравнения при независимых переменных.

Данное значение сходится со значением F_расч в таблице 3. Значит расчет верен.

k₁= m = 2;

k₂ = n – m - 1 = 15;

F_табл (0,05; 2; 15) = 3,68

F_расч > F_табл (0,05; 2; 15), что говорит о статистической значимости уравнения в целом.

4.3. Проверить статистическую значимость параметров уравнения множественной регрессии. Построить интервальные оценки параметров.

m_a = 163,23 t_{a расч} = |-1,16|;

m_b2 = 15,68 t_{b2 расч} = |-0,11|;

m_b3 = 1,93 t_{b3 расч} = 2,99;

t_табл (α=0,05; k=15) = 2,13.

Если t_расч. > t_табл. , то данный параметр статистически значим, а если t_расч. < t_табл. , то данный параметр статистически незначим.

t_расч.а < t_табл , следовательно параметр а статистически незначим.

t_расч.b2 < t_табл , следовательно параметр b₂ статистически незначим.

t_расч.b3 > t_табл , следовательно параметр b₃ статистически значим.

Построение доверительного интервала для параметров а и b. Предельные отклонения параметров находятся по формулам:

∆a = 163,23*2,13 = 347,68.

∆b₂ = 15,68*2,13 = 33,40.

∆b₃ = 1,93*2,13 = 4,11.

Доверительные интервалы имеют вид:

(a - ∆a; a + ∆a);

(b₂ - ∆b₂; b₂ + ∆b₂);

(b₃ - ∆b₃; b₃ + ∆b₃).

Следовательно, с вероятностью γ = 1 - 0,05 = 0,95 истинное значение параметра a находится в интервале (a – 347,68; a + 347,68), т. е. (-536,39;158,97). Доверительный интервал параметра а имеет разные знаки на концах, что подтверждает статистическую незначимость параметра а. А истинное значение параметра b₂ лежит в интервале (b₂ – 33,40; b₂ + 33,40), т. е. (-35,12; 31,68). Доверительный интервал параметра b₂ имеет разные знаки на концах, что подтверждает статистическую незначимость параметра b₂.

А истинное значение параметра b₃ лежит в интервале (b₃ – 4,11; b₃ + 4,11), т. е. (1,66; 9,77). Доверительный интервал параметра b₃ имеет одинаковые знаки на концах, что подтверждает статистическую значимость параметра b₃.

5. Провести анализ остатков регрессионной модели:

Поскольку модель линейной регрессии имеет вид , необходимо проверить, удовлетворяют ли остатки ε_i следующим требованиям:

• Остатки должны носить случайный характер;

• Среднее значение остатков не зависит от х_i;

• Остатки должны обладать гомоскедастичностью – дисперсия остатков постоянна и не зависит от х_i;

• Остатки подчиняются нормальному закону;

• Значения остатков распределены независимо друг от друга.

Проверка этих пяти требований заменяется проверкой критерия Дарбина-Уотсона.

Считаются расчетные значения критерия по формуле:

Находятся 2 критических значения d_l , d_u при заданном значении уровня значимости α=0,05 и числе степеней свободы k=m=2 и объему выборки n=18 по таблице критических точек распределения Дарбина-Уотсона.

Есть положительная автокорреляция остатков

Зона неопределен-ности

Отсутствует автокорреляция остатков

Зона неопределенности

Есть отрицательная автокорреляция остатков

0 d_l =1,05 d_u =1,53 2 4 - d_u = 2,95 4*d_l = 6,12 4

d_расч = 90067,26/39348,17 = 2,29.

d_расч = 2,29 попадает в зону отсутствия автокорреляции остатков.