15. Открытое покрытие. Теорема Гейн-Бореля.

Покры́тие в математике — это семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Определения

Пусть дано множество  . Семейство множеств   называется покрытием  , если

• Пусть дано топологическое пространство  , где   — произвольное множество, а   — определённая на   топология. Тогда семейство открытых множеств   называется открытым покрытием  , если

Лемма Гейне — Бореля

Формулировка Пусть   — замкнутое ограниченное множество в пространстве  . Тогда из всякой системы открытых множеств, покрывающих множество  , можно выделить конечную подсистему, также покрывающую множество  .

Кратко говорят так: всякое открытое покрытие замкнутого ограниченного множества в пространстве   содержит конечное подпокрытие. При этом покрытие называется открытым, если оно состоит из открытых множеств.

Имеет место и обратное предложение: для того чтобы всякое открытое покрытие множества   содержало конечное подпокрытие необходимо, чтобы множество   было замкнутым и ограниченным. 

Первое доказательство Пусть отрезок   покрыт бесконечной системой   интервалов. Предположим, что никакое конечное число интервалов из   не покрывает данный отрезок. Разделим отрезок   пополам на два равных отрезка:   и  . По крайней мере один из них нельзя покрыть конечной подсистемой интервалов из  . Обозначим его   и повторим для него процедуру деления пополам.

Продолжая на каждом шаге делить отрезки пополам, мы получим последовательность вложенных отрезков, по длине стремящихся к нулю, такую что каждый отрезок этой последовательности не может быть покрыт конечным числом интервалов из  . Но если   — точка, в которую стягиваются отрезки, то, поскольку  лежит на отрезке  , она должна входить в некоторый интервал   системы  . Тогда все отрезки последовательности  , начиная с некоторого номера, будут покрыты интервалом  . Полученное противоречие доказывает справедливость леммы Гейне — Бореля.

Второе доказательство Пусть система интервалов   покрывает отрезок  . Обозначим через   множество всех точек  , для которых отрезок   может быть покрыт конечным числом интервалов из  . Ясно, что если всякий отрезок вида   может быть покрыт конечным числом интервалов из  , то же верно и для отрезка  : для этого возьмем интервал  , покрывающий точку  , и добавив его к конечному покрытию какого-нибудь отрезка  , где  , получим конечное покрытие отрезка  . Более того, полученная конечная подсистема интервалов покрывает не только отрезок  , но и некоторый отрезок вида  , где  .

Из первого следует, что точная верхняя грань множества   принадлежит множеству  . Из второго, что она должна быть равна  . Тем самым,  , то есть отрезок   может быть покрыт конечным числом интервалом из  .

16. Понятие функций. Область определения. Область значения.

Определение функции: Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f и пишут y= f(x), где х - называется независимой переменной или аргументом этой функции, а множество D - область определения этой функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при х D), образуют область значения (изменения) функции Е.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Существует три способа задания функции: табличный, аналитический, графический.

Табличный способ задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента х рядом выписывается соответствующее значение у, получается таблица. Например:

С точки зрения математики здесь изучается зависимость между определенными переменными, другими словами изучается некоторая функция. При опыте ведутся записи, в простейшем случае отмечается время (аргумент функции) и записывается показание прибора (соответствующее значение функции), т.е. функция задается таблицей. А задача исследователя состоит в том, чтобы по полученной таблице изучить функцию.

Способ задания функции с помощью формулы у=f(х), где f(x) некоторое выражение с переменной х - называется аналитическим способом.

Пример 1. Функция у=f(х) задана аналитической формулой:

Найти f(-х), f(|х|).  Чтобы найти f(-х), надо в f(х) всюду вместо х подставить (-х). Получим:

. Аналогично находим и для f(|х|).

Пример 2. Найти область определения функции 

Выражение вида   определено при тех х, для которых х-1 0, т.е. при х 1  Значит, область определения функции - луч [1,+∞).

Пример 3. Найти области определения и значений функции y=lg(4-3x-x²).

Логарифмическая функция определена, если 4-3x-x²>0. Корни квадратного трехчлена: x₁=-4, x₂=1. Записанное выше неравенство равносильно неравенству -(x+4)(x-1)>0 , что возможно при x>4 и x<1. Область определения данной функции есть интервал (-4;1). Так как в D 0<4-3x-x² 25/4, то интервал (-∞ ;lg(25/4)) - область значения функции.