43. Полином Тейлора. Остаточный член.
Ряд Те́йлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Определение
Пусть функция бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки . Формальный ряд
называется рядом Тейлора функции в точке .
Свойства
Если есть аналитическая функция в любой точке a, то её ряд Тейлора в любой точке области определения сходится к в некоторой окрестности .
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности . Например,Коши предложил такой пример:
У
этой функции все производные в нуле
равны нулю, поэтому коэффициенты ряда
Тейлора в точке 
равны
нулю.
Формула Тейлора
Формула Тейлора используется при доказательстве большого числа теорем в дифференциальном исчислении. Говоря нестрого, формула Тейлора показывает поведение функции в окрестности некоторой точки.
Теорема:
Пусть функция имеет
производную в
некоторой окрестности
точки
, 
Пусть
Пусть
—
произвольное положительное число,
тогда: 
точка 
при 
или 
при 
:
Это
формула Тейлора с остаточным членом в
общей форме (форма Шлёмильха — Роша).
Различные формы остаточного члена
В форме Лагранжа:
В форме Коши:
В интегральной форме:
Ослабим предположения:
Пусть функция имеет
производную
в некоторой окрестности точки
И производную в самой точке , тогда:
—
остаточный
член в асимптотической форме (в
форме Пеано,
в локальной форме)
Формула Тейлора для функции двух переменных
Пусть
функция 
имеет
полные производные вплоть до
-го
порядка включительно в некоторой
окрестности точки 
.
Введём дифференциальный оператор
.
Тогда
разложением в ряд Тейлора функции
по
степеням 
и 
в
окрестности точки
будет
где 
—
остаточный член в форме Лагранжа:
В
случае функции одной переменной 
,
поскольку для функции одной переменной
частная производная тождественно равна
полной. Аналогично формула распространяется
на функции от любого числа переменных,
меняется только число слагаемых в
операторе 
.
44. Теорема Тейлора.
Формулировка теоремы
Точная формулировка большинства базовых версий теоремы такова.
Теорема Тейлора[1] Пусть k ≥ 1 является целым, и пусть функция f : R → R является k раз дифференцируемой в точке a ∈ R. Тогда существует функция hk : R → Rтакая, что
Многочлен, возникающий в теореме Тейлора, является многочленом Тейлора k-го порядка
функции f в точке a. Теорема Тейлора описывает асимптотическое поведение остаточного члена
который является ошибкой при нахождении приближения функции f с помощью многочленов Тейлора. Используя «O» большое и «o» малое теорему Тейлора можно сформулировать так
Формулы для остатка
Существует несколько точных формул для остаточного члена Rk многочлена Тейлора, наиболее общая из которых следующая.
Интегральная форма[4] записи формулы для остатка Пусть f(k) является абсолютно непрерывной на закрытом интервале между a и x. Тогда
Вследствие абсолютной непрерывности f(k) на закрытом интервале между a и x, её производная f(k+1) существует как L1-функция, и это следствие может быть получено с помощью формальных вычислений с использованием теоремы Ньютона — Лейбница и интегрирования по частям.
Доказательство теоремы Тейлора для одной вещественной переменной
Пусть[7]
где, как указано в формулировке теоремы Тейлора,
Достаточно показать, что
Доказательство
основано на повторяющемся применении правила
Лопиталя.
Заметим, что каждое j =
0,1,…,k−1, 
.
Отсюда каждая следующая производная
числителя функции 
стремится
к нулю в точке 
,
и то же самое справедливо для знаменателя.
Тогда
где переход от предпоследнего выражения к последнему следует из определения производной в точке x = a.